第３１卷第５期 ２０１３年０９月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ． ２０１３
文章编号：１００８—１４０２（２０１３）０５—０７８６—０２
一类变系数偏微分方程的解法①
宋杨
（吉林师范大学数学学院。吉林四平１３６０００）
摘要：运用ＡＣ＝ＢＤ的思想，将一类变系数偏微分方程线性化，并利用行波法将方程约化成
常微分方程求出方程的行波解．
关键词：偏微分方程“ＡＣ＝ＢＤ”法行波法
中图分类号：０１７５．２ 文献标识码：Ａ
１ 问题的提出
张鸿庆教授在１９７８年提出了关于微分方程求
解的“ＡＣ＝ＢＤ”模式及其应用，这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均
为微分算子．“ＡＣ＝ＢＤ”的基本思想方法为：已知
Ａｖ＝０和Ｄｕ＝０，寻找适当的变换口＝Ｃｕ，使得Ｄｕ
＝０（其中Ｃ ｋｅｒ Ｄ］ｋｅｒＡ，ｋｅｒ表示算子的核），对
一般微分方程的求解，转化成对下面问题的解决：
给定算子Ａ构造算子Ｄ和使Ｃ ｋｅｒ Ｄ＝ｋｅｒ Ａ如何
构造变换ｔ，＝Ｃｕ，把求解方程Ａｖ＝０的问题约化成
求解方程Ｄｕ＝０的问题…．
本文研究变系数偏微分方程
Ｏ －Ｖ ＋ｍｌ。）（ａ ３－－－Ｖ Ⅲ ㈤（２ ＝ｏ
的求解，其中 （ｉ＝１，２）为ｔ的任意函数．
２ 定义和引理
为了证明方程（１）给出定义２．１和引理２．１．
定义２．１ 设 是线性空间，Ａ， ，Ｃ，Ｄ是从
到 的算子，对任意 ∈Ｘ，
ＡＣ（ ）＝Ａ（Ｃｖ），ＢＤ（ ）＝Ｂ（Ｄｖ）
如果对Ｖｖ∈Ｘ，ＡＣ（ ）＝Ｂ（Ｄｖ），则称ＡＣ＝ＢＤ．
引理２．１ 设Ⅱ（ ， ）Ｅ Ｘ，是常系数ＫＤＶ方
程
＋６ｕｕｆ＋ 搿 ０
的解，Ｂ＿￣ ａｕ， ａｕ， ∈ ，则有
当ａ＜ｂ＜ｃ时，
Ｍ（．ｒ， ）＝ｂ＋（ｃ—ｂ）ｏｎ 【 （ｃ－０）｝（ －２（。＋６＋ｃ）．ｒ＋ ， ）】
其中ｌ＂ｔ为实数．
当０＜ｂ≠ｃ时，
（ ， ）＝口＋（ｃ—ａ）ｓｅｅ ｈ
｛【 （ｃ一。） 一２（２口一ｃ）丁＋ ］）
其中７ｌ是关于 ，．ｒ的函数．
当ａ＝ｂ＝ｃ时，Ⅱ（ ， ）＝ａ一２（ 一 ）－２．
其中ａ，ｂ，ｃ是实数且满足文献［２］和［３］中的
条件．
证明类似文献［２］和［３］中的证明，略．
３ 证明过程
（２）
＝Ｃ ＝ｅｘ￣（ｆ２ｍ （￡）ｄ￡） （丁， ）
＝ ｅｘｐ（ｆｍ （￡） ） （３）
丁＝ （ｚ）ｅｘｐ（ｆ３ｍ￣（￡）ｄ￡）ｄｆ
将（３）代入方程（２）得
ｅｘｐ（Ｉ２ｍ：（ｔ）ｄｔ） （ ， ）］ ＡＣｕ＝——————— —————————————————一
ｇ［ｅｘｐ（Ｉ２ｍ￣（ｔ）ｄｔ） （丁， ）］ ＋ｍ１（ ）——— ．—＿ ———一＋６ｍ１（￡）
① 收稿日期：２０１３—０８—２６ 作者简介：宋杨（１９８８一），女，吉林公主岭人，吉林师范大学数学学院在读硕士研究生 缸 ＋ ２ ｍ 一 ６ ＋ ｍ ＋ ＝
令 第５期 棠 杨：一类变系数偏微分方程的解法 ７８７
￣ｅｘｐ（Ｊ （￡） ）ｕ（丁， ）］——Ｌ ＿一
一２ｍ （ｆ）［ｅｘｐ（ｆ２ｍ：（ｔ）ｄ￡） （ ， ）］
０［ｅｘｐ（ｆ２ｍ （ｔ）ｄｔ） （．ｒ， ）］
一 ｍｚ（ｔ）———Ｌ— ——一＝０
合并同类项得
ＡＣＭ＝ｍ。（ ）［ｅｘｐ（ｆＳｍｚ（ｔ）ｄ￡）］ ０ｕ
［ｅｘｐ（ｆＳｍ：（￡）ｄ￡）］ （丁， ）
令 ｍｌ（ｔ）ｅｘｐ（ｆ５ｍ （ ） ）
Ｏ
０
Ｂ＝ ㈤［ｅｘｐ（ 引旁＋６ ｔ）
［ｅｘｐ（ｆＳｍ ㈤ 丁， ）詈＝０
即
ＡＣ ＝ｍ。（ｆ）［ｅｘｐ（ｆＳｍ：（￡）ｄ￡）］打ａｕ
㈤［ｅｘｐ（ 州 旁＋６ ）
Ｏ
ｍ，（ ）ｅｘｐ（ｆＳｍ２（ ） ）
Ｏ
ｍｌ（ｆ）ｅｘｐ（ｆＳｍ （￡） ）
０
０
ＤＵ
则由（４）得，ＡＣ（Ｕ）＝Ｂ（Ｄｕ）
由定义２．１和引理２．１有
＝ｅｘｐ（ｆ２ｍ ㈤ ｛６＋（ｃ 。 。 ｐ（三
ｆＳｍ： ｄ ］［Ｏ ｍ。（ ）ｅｘｐ ：（￡）出）ｊ （４）
当ａ＜ｂ＜ｃ时，有
（ ， ）＝ｂ＋（ｃ—ｂ）ｃｎ
【去（ｃ ｝（ －２（ａ＋ｂ＋ｃ ， ）】
－６） 【 ６）÷ ２（ａ＋ｂ＋ｃ ， ）】）
当ａ＜ｂ≠ｃ时，有
Ｈ（ｒ， ）＝ ＋（ｃ一口ｓｅｔｈ ｛【 １（ｃ一口）】 ［ 一２（２。一ｃ）丁＋ ］）
Ｖ＝ｅｘｐ（『２ｍ （ｃ）ｄｅ）｛口＋（ｃ一口ｓｅｅｈ ｛【丢（ｃ 】 ［ 一２（２ｎ＿ｃ）下 ］））
当口＝ｂ＝ｃ时， （．『， ）＝口一２（ 一 ）一 ［１］李彪・孤立子理论中若干精确求解方法的研究及应用，大连，
Ｖ＝ｅｘｐ（』２ｍ２（￡）ｄｔ）［口一２（ 一 ）－２］ Ｅ２］刘式适，刘式达．物理学中的非线性方程，北京：北京大学出
版社，２０００． 参考文献： Ｅ３ ２ 李栩神・孤子与可积系统，上海：上海科技教育出版社， ９９・
Ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉ ｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ
ＳＯＮＧ Ｙａｎｇ （ｊｆｌｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｌｎｇ １３６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆＡＣ＝ＢＤ，ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；”ＡＣ＝ＢＤ”；ｆｉａｎｃｅ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅ ＼，● ●●● 龇 ６ Ｌ
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