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几类新的可积类型。 变系数线性微分方程有齐次、 非齐次之分， 根据线性微分方程解的结构定理， 非齐次线性 方程的通解等于对应的齐次方程的通解与它本 身的一个特解之和， 而非齐次方程的特解可以 根据自由项的不同采用待定系数法或常数变易 法求得。基于这种思想， 下面只讨论变系数齐 次线性方程的求解。
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线性常微分方程在科学研究、 工程技术中 有着广泛的应用。常系数的线性微分方程的求 解问题早已解决， 但在激励振动、 波导传输理论 以及其它领域的许多系统中， 人们常会遇到二 阶或高阶变系数线性微分方程， 因此， 探讨它们 的解法具有重要理论和应用价值。这类方程一 般情况下， 无法用初等积分法来求解， 即不可 积。然而， 一些特殊形式的变系数线性方程还 是可以求解的， 比如著名的 E*.1+ 方程。为了满 足理论研究和工程实践的需要， 人们用不同的 方法在不断扩大变系数线性微分方程的可积类
几类变系数线性常微分方程的求解
章联生&
（& 摘 北京石油化工学院数理部， 北京 &"!B&%；! 要
王勤龙!
中南大学数学科学与计算技术学院， 长沙 ’&""C#）
在科学研究、 工程技术中， 人们常会遇到二阶或高阶变系数线性微分方程， 一般形式的这
类方程， 无法用初等积分法求解， 也没有通用的一般性方法。但这类方程中的一些特殊类型仍可求解。为了 满足理论研究和工程实践的需要， 一直以来， 人们用不同的方法在不断的探讨这一问题， 极大地扩展了变系数 将几类变系数线性微分方程 线性微分方程的可积类型。借助双变换 D 未知函数的线性变换和自变量的变换， 化为常系数的线性微分方程， 从而求得它们的通解， 所得结论推广了著名的 E*.1+ 方程及前人的一些的工作。 关 键 词 变系数线性微分方程；双变换；常系数线性微分方程；通解 F&%GH& 中图法分类号
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第%期
章联生等 K 几类变系数线性常微分方程的求解
#1
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［& I %］ 型， 取得了不少成果 。笔者借助双变换 D 未知函数的线性变换和自变量的变换， 得到了
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$( ) %!$+ $+!+ $+ ! ) )! ! ’ , " $ $! $ （&） 可积， 并且若记一元二次代数方程 ! （!） ! ) % !) & , " 根的判别式为 !， 两根为 !& ， ， 那么方程 !! （&） 的通解为
一个原函数 （下同） 。 证明 对方程 （&） 作双变换： ’ , $/ ， 0 , !L" $ （#）
定理 !
把方程 （&） 中的未知函数 ’ 变换成 / ， 自变 量 " 变换成 0 ， 于是有 L L/ ’+ , （ $/ ）, $+/ ) $ , L" L" $+/ ) $ L/ L0 L/ ， , $+/ ) $! L0 L" L0
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" $- D ! $ ! L（ #& M #!$ ! L " ） （222） 此时代数方程 （ !） 没有实根， ! N " 时， 有 一 对 共 轭 复 根， 设 为 !&， . ，’ J ! J" O# " "$ ! L［ （ （ ］ $#& 9)6 M #! 62, #$ ! L " ） #$ ! L " ） 其中 #& ， #! 为任意常数， $ ! L " 表示函数 ! 的 %
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有一对共轭复根， 设为， 2， "&， " ,# ?$
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实常数， 则方程 )$ &$ ! ! ( 0 & ) - ; ) - ; & !" ( &$ )" )$ " 0 " )" - 0 & )$ - ; (; " ( & ) ) " " &$ &$)$ &$ )$ &$) !$ ( (; (; " - " 0& &) & &" & )