a2

f1(a, )


arctan (1 a2 ) sin 2a (1 a2 ) cos

f2 (a, )
桥臂系数K得模、相角与a的关系曲线，如图P52，图3-9所示。
电容传感器常用交流电桥有四种形式，如图P53，图3-10所示。
在图3-10（a）和（b）中
a
Z1 Z2

R R
]
定极板
传感器的输出为：
差动式电容传感器
C

C1

C2

d C0[2( d0
)

d 2(
d0
)3

]
忽略高次项，电容的相对变化为：C 2 d
C0
d0
相对非线性误差为： ( d )3 ( d ) ( d )2 100%
d0
d0
d0
结论：差动式电容传感器，不仅使灵敏度提高一倍， 而且非线性误差可以减小一个数量级。
d
时，上式可展开为级数
0
形式
C d [1 d ( d )2 ( d )3 ] （3-9）
C0 d0
d0 d0
d0
忽略上式中的高次项，得
C d
C0 d0
(3-10)
上式表明，在 d 1条件下 电容的变化量△C与极板间
d0
距变化量△d近似成线性关系
若考虑（3－9）式中线性项和二次项，则
缺点：（1）寄生电容影响较大。寄生电容主要指连接电容 极 板的导线电容和传感器本身的泄漏电阻。（2）当电容传感器 用于变间隙原理进行测量时具有非线性输出特性。
随着电子技术的不断发展，特别是集成电路的广泛应用，这些 缺点也得到了一定的克服，进一步促进了电容式传感器的广泛 应用。
应用：压力、位移、厚度、加速度、液位、物位、湿度和成分 含量等测量之中。
解：
Cm in

2 0H
ln r2

2
(8.85 pF / m) 1.2m ln 5
41.46 pF
r1
Cmax
2 0 r H
ln r2
41.46 pF 2.1 87.07 pF
r1
V d 2 H (0.5m)2 1.2m 235 .6L
4
4
D0
,
D1
L ：筒长
D1 a L
当覆盖长度变化时，电容量也 随之变化。当内筒上移为a 时， 内外筒间的电容C1为：
D0
圆柱形电容式线位移传感器
C1

2
0r L
ln D0

a

C
0
1

a L

,
与a成线性关系。
D1
二、变介电常数（ε）型
因为各种介质的介电常数不同，若在两电极间充以 空气以外的其他介质，使接电常数相应变化时，电 容量液随之变化。
3.2 电容式传感器的测量电路
一、等效电路
如图，C为传感器电容，RP
为并联电阻，它包括电极间 直流电阻和气隙中介质损耗
RS
L
的等效电阻。串联电感L表 ZC
C
RP
示传感器各连线端间的总电
感。串联电阻RS表示引线电 阻、金属接线柱电阻及电容
等效电路
极板电阻之和。
等效阻抗
ZC
(RS

1


RP 2 RP
ln(R / r) ln(R / r)
令：A 2h2
ln(R / r)
K 2 (1 2 )
ln(R / r)
则有：C A Kh1
可知，传感器的电容量C与液位高度h1成线性关系。
（4）另一种变介电常数的电容传感器，如图。极板间两 种介质的厚度分别是d0和d1，则此传感器的电容量等于两 个电容C0和C1相串联。
的电容为
C 0S ad d r
（2）单组式 平板形线位移传感器
平板的面积为：L0×b0
C
C1
C2
0b0
r1 (L0
L) r2 L
d0
当L=0时，传感器的初始电容
C0

0 r1L0b0
d0

0 L0b0
d0
当被测电介质进入极板间L深度后，引起电容相对变化量为
变介电常数型电容式传感器的结构形式有很多种，大 多用来测量电介质的厚度、液位，还可根据极间介质 的介电常数随温度、湿度改变而改变来测量介质材料 的温度、湿度等。
（1）单组式厚度传感器
极板1
a
d
极板2 厚度传感器
设电容的极板面积为S，间隙为a，当有一厚
度为d、相对介电常数为εr的固体电介质通过 极板间的间隙时，若忽略边缘效应，电容器
C0

rS 3.6d0

S
3.6d0
pF
当间距d0减小△d时，则电容量为
C0

C

3.6
S (d0

d )

3.6d0
S (1
d d0
)

C0
1 1 d
d0
1
d0
2 变极距型电容传感器
d 电容的相对变化量为： C d 0
C0 1 d d0
（3 8）
当d

A
Z1 Z2

Z1
e
j 1
Z2
e
j 2
ae j
式中：a
Z1 Z2
为A的模；＝1－2为A的相角。
桥臂系数K时桥臂比A的函数，其表达式为
K

A (1 A)2
kej

f (a, )
k和分别是桥臂系数K的模和相角，
将A ae j带入上式得
k

K

a
1 2a cos
变极距(δ）型: (a)、(e) 变面积型(S)型: (b)、(c)、(d)、(f)、(g) （h） 变介电常数(ε )型: （i）～(l)
补充：电容相关知识
平行板电容器 C S / d
圆柱形电容器
C 2L
ln(R / r)
L：内外圆柱相互覆盖部分的长度 r、R：内外圆柱的半径
球形电容器 C 4 R1R2
C C C0 ( r2 1)L 电容变化量与电介质移动量L呈线性关系
C0
C0
L0
（3）圆筒式液位传感器
2R 2r
h2
h 2
C1 C
h1
1
C2
液位传感器
若容器内介质的介电常数为ε1 ，容器介质上面气体的介电常数为 ε2，当容器内液面变化时，两极板间的电容量C也会变化。
气体介质间的电容量C1为
电容之差为输出量。
如图，设动片上移△d，则C1增大， 定极板
C2减小，如果C1和C2的初始电容 用C0表示，则有
动极板
C1

C0 [1
d d0
( d d0
)2

( d d0
)3

]
△d
C1 d0 C2 d0
C2

C0 [1
d d0
( d d0
)2
( d d0
)3

（1）交流不平衡电桥
交流不平衡电桥是电容传感器最基本得一种测量电路，如图。其 中一个臂Z1为电容传感器阻抗，另三个臂Z2、Z3、Z4为固定阻抗， E为电源电压（设电源内阻为零），USC为电桥输出电压。
B
设电桥初始平衡条件为Z1Z4＝Z2Z3，
则USC＝0。当被测参数变化时引起
Z1+△Z
Z2
传感器阻抗变化△Z，电桥失去平衡， 其输出电压为
2C
2
)

j( 1
RP 2C 2RP2C
2
L)
式中＝2f为激励电源角频率。
由于传感器并联电阻RP很大，上式经简化后得等效电容为
注：RS一般不大,化简时 ，可忽略， ZC

1
jCE
CE

1

C
2
LC
1 (
C f/
f0 )2
式中f0

2
1 LC
为电路谐振频率。
二、测量电路
（2）运算放大器式电路
其最大特点是能够克服变极距型电容式传感器的非
A
USC
C
U SC

( Z1 Z Z1 Z Z2

Z3 Z3 Z4
)E
Z3Z4D源自E交流不平衡电桥原理图
将电桥平衡条件Z1Z4＝Z2Z3带入上式，整理得
( Z )( Z1 )
( Z )( Z1 )
U SC

(1
Z1 Z1
Z2 )(1
Z3 )
E

Z1 Z2 (1 Z1 )2
第3章 电容式传感器
➢3.1 电容式传感器的工作原理 ➢3.2 电容式传感器的测量电路 ➢3.3 电容式传感器的误差分析 ➢3.4 电容式传感器的应用
第3章 电容式传感器
电容式传感器是将被测参数变换成电容量的测量装置。
优点：（1）测量范围大、抗过载能力大；（2）灵敏度高； （3）动态响应时间短；（4）机械损失小；（5）结构简单、 适应性强；（6）价格低廉等。
定片 （a）角位移式
当
0时，C

r S(1 / ) 3.6d
C0 (1
/)
显然：电容Cθ 与角位移θ呈线性关系。
板状线位移变面积型
当其中一个极板发生x位移后，改变了两极板间的遮盖面积 S ，电容量C同样随之变化。
Cx