第11题 一道根式函数题的6种解法设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题）解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ，故t 的取值范围是⎤⎦解法二：（三角换元法）注意到))()211x +=-≤≤，可用三角换元法，如下：2sin ,0,2πααα⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦得 2sin 4t πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由32sin 244424ππππαα⎛⎫≤+≤≤+≤ ⎪⎝⎭t ∴的取值范围是⎤⎦解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有cos sin cos sin 2222t θθθθ⎫⎫==+=+⎪⎪⎭⎭以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问题的，解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手．解法四：（双换元法）,u v x ==消去得：222u v +=，问题转化为方程组2202u v tu v u v +=⎧≤≤≤≤⎨+=⎩在条件下有解时，求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时，求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。

解法五：（构造等差数列）由t =22t=⨯，2t成等差数列。

22t td d =-=+，消去x 得222222,442t d t d =+=-，由20d ≥知22444t d =-≤，得2t ≤。

0。

222d d ≤≤-≤≤221444422t d ∴=-≥-⨯=2t ≤≤解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α，则112cos 2t p q t αα=⋅=+=∴≤由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。

01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。

通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。

第12题 特值压缩法求解参数取值范围已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）解法一：（按部就班分类讨论法） 由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].解法二：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视。

当然不具备一般性。

但对于一些题目可以减少讨论步骤。

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），由2202(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020F ke F ke -⎧-=-+---⨯--≥⎨=+--⨯-≥⎩得 2220220ke k -⎧-+≥⎨-≥⎩得21k e ≤≤， ()2[(1)]242(2)(1)x x x F x k e x e x x ke '=++--=+-，当21k e ≤≤时，由()2(2)(1)0xF x x ke '=+-=得211[,1]ln [2,0]x e e x k k-=∈⇒=∈-，当2k e =时，显然当2x ≥-时，()0F x '≥，()f x 为增函数，从而()(2)0F x f ≥-=， 当21k e ≤<时，则1ln(2,0]k∈-，所以 当1(2,ln )x k ∈-时，()0F x '<，()F x 为减函数，当1(ln ,)x k∈+∞时，()0F x '<，()F x 为增函数，所以()F x 的最小值为1ln 21111(ln )2(ln 1)(ln )4(ln )2k F ke k k k k=+---22111112(ln1)(ln )4(ln )2(ln )2ln k k k k k =+---=-- 2211(ln )2ln (ln )2ln (2ln )(ln )0k k k k k k=--=-+=-≥，所以求k 的取值范围是21k e ≤≤.第13题 分离ln x 解题已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =．（Ⅱ）解法一： 由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--． 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211x - h （x ）>0从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k.（ii ）设0<k<1.由于当x ∈（1，k-11）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故()0h x '>,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得211x-h （x ）<0,与题设矛盾．（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x- h （x ）<0,与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]． 解法二：ln ()()1x kf x x x -+=- 2ln ln 111121()()ln ln 11111x x k k k x x x x x x x x x x x ------=--=-+-+--2221111[2ln (1)][2ln (1)()]11k x x x k x x x x x-=--⨯-=------（这一步的目的是提取因式211x -，分离出ln x ，由于211x -的符号不确定，所以分类讨论如下）令设1()2ln (1)()g x x k x x=----，于是原题等价于()0,(1,)()0,(0,1)g x x g x x >∀∈+∞⎧⎨<∀∈⎩221()(1)(1)g x k x x'=---+，若是通分，分子是一个关于x 的二次函数，讨论比较复杂，不如再次提取21(1)x+，分离参数k ，这样会转化为对号函数，可谓一举两得： 于是22221121()(1)(1)(1)[(1)]11g x k k x x x x x '=---+=+-⨯--+221212(1)[(1)](1)(1)11k k x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=+---=+---⎢⎥⎢⎥++⎣⎦ 令2()1h x x x=+，由对号函数的单调性，()h x 在(1,)+∞单调递减，当1x >时，12x x+>，从而()(0,1)h x ∈，所以当(1)1k --≥，即0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g >=恒成立； 当0k >时，(1)1k --<，所以存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g <=，不合题意. 同理可讨论当01x <<时，仍然是0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g <=恒成立；当0k >时，(1)1k --<，所以存在0(0,1)x ∈，使得当0(,1)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g >=，不合题意. 综上，0k ≤．第14题 一道含有lnx 的高考题的3种解法已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 当4=a 时，1()(1)ln 4(1),()ln 3,f x x x x f x x x'=+--=+- 又(1)2,(1)0.'=-=f f所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （2）解法一：分离ln x 法当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x (1)()ln 1a x g x x x -=-+设，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，设)1(,1)1(2)(2>+-+=x x a x x h ，因为方程01)1(22=+-+x a x 的判别式[])2(44)1(22-=--=∆a a a（i ）当2≤a 且(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，所以0)(>x h ，即0)('>x g ，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此0)1()(=>g x g ，即()0>f x 恒成立.（ii ）当2>a 时，令0)(=x h 得01)1(22=+-+x a x 的两根为：1211x a x a =-=-.显然21>x ，又因为121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，0)(<x h 即()0'<g x ， 所以()g x 在2(1,)x 单调递减，0)1()(=<g x g 因此0)(<x f .综上所述，a 的取值范围是(],2.-∞解法二：二次求导法因为'1ln (1)1()ln x x x a x f x x a x x++-+=+-=设)1(,1)1(ln )(>+-+=x x a x x x g 则a x x g -+=2ln )('（1）当022≥-≤a a 即时，,0ln ,1>∴>x x 所以0)('>x g ，)(x g 在),1(+∞是增函数，∴0)(,02)1()('>∴≥-=>x f a g x g所以)(x f 在),1(+∞上是增函数，0)1()(=>f x f .故0)(>x f 成立. （2）当022<->a a 即时，令0)('=x g 得12>=-a e x 所以当21-<<a e x 时，0)('<x g ，)(x g 在),1(+∞是减函数，所以02)1()(<-=<a g x g 即0)('<x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是减函数，0)1()(=<f x f ，显然0)(>x f 不恒成立.综上所述：a 的取值范围是(]2-，∞. 解法三：分离参数法0)(>x f 等价于1ln )1(-+<x x x a 恒成立，1ln )1()(-+=x xx x g 很容易证明)(x g 在),1(+∞单调递增，但)(x g 不存在最小值，故应用现有知识无法求解． 考虑洛必达法则：111(1)ln ln 1lim ()limlim 211x x x x x x xg x x →→→+++===-，所以2a ≤，即a 的取值范围是(]2-，∞. 说明：本题函数比较简单，可以避开洛必达法则，方法是利用极限定义，但是对于变形要求较高，解析如下：1111(1)ln (1)ln (11)ln1()(1)lim ()limlim lim (1).111x x x x x x x x u x u g x u x x x →→→→++-+-'====---其中，()(1)ln u x x x =+，()ln 1u x x x '=++，所以(1)2u '=。