4 •勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在b 、c 2 a 2 , a . c 2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a , b , c 满足a 2 b 2 c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a 2b 2与较长边的平方c 2作比较，若它们相等时，以 a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
② 定理中a , b , c 及a 2 b 2 c 2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ,b ,c 满足a 2 c 2b 2，那么以a , b ,c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直 角三角形6 .勾股数① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2 b 2 c 2中，a , b , c 为正整数时，称a , b ,c 为一组勾股数② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25 , 8,15,17等③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：2_____________________________________ & 勾股定理一、基础知识点： 1•勾股定理 厂c 2内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b ，斜边为c ，那么a 2 b 2 2 •勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① 图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ② 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4S S 正方形 EFGH S 正方形ABCD ,，化简可证. 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积•四个直角三角形 的面积与 小正方形面积 1ab 2 2ab c 2 大正方形面S (a b)2 a 2 2ab b 2 所以a 2 b 2 ab1 (a b) (a23 •勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 方法三: s 梯形 b), S 弟形 2S ADE S ABE 1 2 ab2 -c 2，化简得证 2 ABC 中， C 90 ，贝U c . a 2 b 2 ,2拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2 2 2 2n 1,2n,n 1 （ n 2, n 为正整数）; 2n 1,2n 2n,2n 2n 1 （ n 为正整数）; m 2 n 2,2mn,m 2 n 2 （ m n, m , n 为正整数） 7.勾股定理的应用了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线） ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 •勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而 得到错误的结论.9 •勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体•通常既要通过逆定理判 定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例题2如图（8），水池中离岸边 D 点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例 1 •在 ABC 中， C 90 .⑴已知AC 6 , BC 8 •求AB 的长⑵已知AB 17, AC 15，求BC 的长分析：直接应用勾股定理a 2b 2c 2H题型三：勾股定理和逆定理并用― 1 _例题3如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB丄AB4那么△ DEF是直角三角形吗？为什么？题型四：利用勾股定理求线段长度例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点丘，将厶DE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2A 、24cm6、若等腰三角形的腰长为10,底边长为B 、 36cm 2C 、 48cm 2 12,则底边上的高为（D 、 60cm 2A 、6B 、7、已知，如图长方形ABCD 中, AB=3cm AD=9cm 将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合，折痕为 EF ,则厶ABE的面积为（2 2 2 23cm B 、4cm C 、6cm D 、12cm&若△ ABC 中，AB13cm, AC 15cm ，高 AD=12,则 BC 的长为A 、14B 、4 C、14或4 D 、以上都不对、如图，正方形网格中的△ ABC 若小方格边长为1,则厶ABC 是（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）以上答案都不对题型六：关于翻折问题如图，矩形纸片 ABCD 的边AB=10cm , BC=6cm, E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上 的点G 处，求变式：如图， 的长•三、勾股定理练习题 （一）、选择题3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是（3,4），则0P 的长为（ 4、在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,/ B = 45° ,c = 10,贝U a 的长为()A : 5 5 、已知 Rt △ ABC 中，/ C=90°,若 a+b=14cm, c=10cm ，则 Rt △ ABC 的面积是(1、F 列各组数中，能构成直角三角形的是（A : 4, 5, 6B : 1, 1 ,2C : 6, 8, 11D :5, 12, 232、在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, a = 12, b = 16,则 c 的长为()A:26B : 18C : 20D : 21BE 的长.AD 是厶ABC 的中线，/ ADC=45°,把厶ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C'的位置，BC=4求BC' )A<10 C : V 5QD : v 5D ''31 b(A2、如图，四边形 ABCD 中, AB = 3cm, BC = 4cm CD= 12cm, DA= 13cm , 且/ ABC = 900，求四边形 ABCD 勺面积。
10、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高是（14 C 、16（二）、填空题1、若一个三角形的三边满足c 2 a 2 b 2，则这个三角形是2、 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm ,对角线为则这个桌面 __________ 。
（填“合格”或“不合格”）3、 直角三角形两直角边长分别为 3和4，则它斜边上的高为 ______________ 。
4、 如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B, C ，D 的面积的和为 ___________________5、 如右图将矩形 ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 处，已知 CE=3,AB=8,则 BF= __________ 。
6、 将一根长为15 cm的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h cm ，则h 的取值范围是 ____________________ 。
100cm,（三）、解答题1、已知△ ABC 的三边分别为 k 2— 1, 2k , k 2+1（ k > 1）,求证:△ ABC 是直角三角形 （9分）如图，在O3. 如图，在 Rt△ ABC中，/ ACB=90 , CD!AB, BC=6, AC=8求AB CD的长4. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm ?长BC?为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？？5. 如图，A B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为d（已知d2=400000nf），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。
问最小是多少？（2题图）（5题参考答案:(一)(二)(三)1、B2、C1、直角三角形1、提示：证(k2—1) 2+(2k) 2= ( k2+1)3、C4、C2、合格3、5、124、26、C7、C8、C9、A 10、D5、 6 6 、2WhW32、解: 连接AC •••在Rt△ ABC中，AC=AB +BC AC = . 9 16 =5cm3、解: ••• S A ABC=A^B C 3 42=6cm2在厶ACD中，AC2+CD2=25+144=169, DA2=132=169,ACS A ACD=—-2• S 四边形ABCD= S\ ABC+ S^ ACD=6+30=36 cm 在Rt△ ABC中，BC=6 AC=8AB2= AC2+ BC2AB =：36 84= 1 0••• DA2=AC 2+cD •••△ ACD是Rt△DC =「=30 cm22AC BC 6 8 cCD= = = 4.8AB 104、解析：根据勾股定理可求得BF=6cm所以CF=4cm设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm 根据勾股定理，得x2+42=(8-x) 2x=4cm5、解析：根据勾股定理可求得A B两个村庄的水平距离是600m,再根据勾股定理可求得最小值是1000m。