3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定 长的点的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
不是归纳推理，是一种类比。
观察下面推理问题
根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体. 这还是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
归纳推理定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
不变性
a+0=a
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试 给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时，
第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时， n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
64
前2个圆环从2到3.
2
1
3
小结：
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
类比推理
观察下面推理问题
关于锯子的一个传说：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
需证明
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是_______. 2n 1
这就是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观 测或试验，进而对整体做出推断. 这也是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
成语”一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
(3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 不一定正确，需要证明。
观察下面推理问题
火星上是否有生命？
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
这个推理过程是归纳推理么？这里的猜想一定正确么？
歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数之和”
归纳推理定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称：归纳) 说明：归纳推理的几个特点;
1.归纳是由特殊到一般、由部分到整体的推理,因 而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上,提出带有规律性的结 论。
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
an = 1 + an
1 猜想： an n
点评：虽然这个猜想是 否正确还需要严格的逻 辑证明，但这个猜想可 以为我们研究问题提供 一个方向。
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
64个圆环需要： 2 1次
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 o s2 s3
b
Ａ
B
C
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
归纳推理和类比推理的共同点:
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类 比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理.
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
小结
1.类比推理的定义： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理.(简称：类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.归纳推理和类比推理的共同点:
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
不是归纳推理，是一种类比；猜想结论不一定正确，需要证明。
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理.(简称：类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 ---归纳推理、类比推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维 过程。
观察下面一个推理问题，你有什么想法？ 史话：歌德巴赫猜想的提出过程：
（1)他先无意中发现：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， （2)他后来又把上面的式子改写为: 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 1000＝29+971， 8＝3+5， 1002=139+863, 10＝5+5, … 12＝5+7， 14＝7+7， 综上述他得出一个规律： 16＝5+11, 偶数＝奇质数＋奇质数 18 =7+11, „，
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们 把它们统称为合情推理.
具体的材料的第1项a1=1且 a n +1
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式. 解： 当n＝ 1时，a 1＝ 1
1 当n＝2时， a 2 2 11
1 当n＝3时，a3 1 3 1 2 1 1 3 当n＝4时，a4 1 4 1 3 1 2
练 .在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为 三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我 pa pb pc 们可以得到结论:
ha
平面上 图 形 结 论
B P pb pc pa A

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