五、张量运算
1、相加 cij aij bij
2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为 原来张量的各个分量之积。
cijkmn aijbkmn (i, j, k, m, n 1, 2, 3)
3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。
aii a11 a22 a33
4、内积：内积是外积的缩并。
旋度运算基本公式
(ca) ca (a b) a b
( a) a a () 0
(ab) b (a) a (b) (a) 0
小总结
梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小 、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。
梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了 向量场。
q1 q1 x, y, z
q2 q2 x, y, z
q3 q3 x, y, z
即每一组 qi 必有一组 xi 与之对应，反之亦然（其雅可比 行列式不为零
2、正交曲线坐标系
若空间任意一点，三个坐标线的切线都是正交的，称此坐标系
为正交曲线坐标系。沿着坐标线的切线方向的单位向量以 表示。
a ibi a1b1 a2b2 a3b3
5、张量场的微分：
对张量的每个元素 取其 x i (i 1, 2, 3) 的导数
张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）
三、向量微分算子（哈密顿算子）
哈密顿算子的符号是 ，有两种表示方法
微分形式：
r i
r j
r k
x y z
积分形式：
lim 1 nrds Vs
gnr ar ds，对向量 nr ar 应用散度定理，有：
c
g
nr
ar
ds
r
Ñ nc
g
nr
ar
dc
c
c
其垂中直，nr由c 是标曲量线三C重的积外公法式线可向得量：，nrncrg是nr car的外 法ar g线nr向c 量nr， 二ar者gd相cr 互
所以：
nrg ar ds Ñ ar gdcr
Ò rot v lim 1
n vds 2
0
s
旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场， 叫旋度场
在直角坐标系中表达式：
rotv i(vz vy ) j(vz vx ) k(vy vx ) y z x z x y
引进哈密顿算子：
i jk v
x y z vx vy vz
s
c
Stokes公式联系了面积分和线积分之间的关系。
六、一般正交曲线坐标
为什么？实际需要
1、一般曲线坐标系
若任一点的坐标位置(x,y,z)可用其它三个独立变量 q1, q2, q3
表示，即存在关系式
x xq1, q2, q3 y y q1, q2, q3
z z q1, q2, q3
或
散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。
旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。
四、几个重要公式
1、 div grad g 2 拉普拉斯算子 2、 divrotar gar 0
3、 rot grad 0
4、 rot rotar ar gar g ar grad divar 2ar
dsi Hidqi
如何确定Hi？ 象在笛卡儿坐标中一样，在空间某 一点A，沿三个坐标轴为棱边作一 微分六面体，由于其边长分别为 H1dq1 ， H2dq2 ，H3dq3 ,
H3dq3
H 2 dq2 H1dq1
设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是 由于dq1的变化而引起的数，故
g ar dv nrg ar ds
v
s
由公式 divrotar g ar 0 知左端积分为零，而
右端积分的表面应是包围V的整个曲面，即S加由C所包围的底面 c
所以， nr g ar ds nr g ar ds ，由标量三重积公式
s
c
nrgar 可以写成：nrgar gnr ar ，故右端为：
v0
（运算）
nr
s v
含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念）
1、
r i
r j
r k
x y z
叫梯度（标量场的最大变
grad
r i
r j
r k
化率和变化率的方向）
x y z
2、微分形式和积分形式是否等价：
证明：取 的二等值面和两二等值面之间的小圆柱, 如图
沿柱面积分 nrds ，该积分由三部分组成，即 s
r P
按下
式变换
r
pi Pjij
r r r
则笛卡儿坐标系所确定的三向量组 P1, P2 , P3 叫张量 rr r
P1, P2, P3 是张量 的向量分量。
定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。
r r
ab
a j ,bj
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1
a2b2
a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
4、坐标线的切线方向的单位向量
r eerii
ger
jerj eirjk
r e1
,
r e2
,
r e3
的正交性
式中
环排列。 ij
1,i j 0,i j
为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循
5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增
量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一 般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量 dsi，即
er2
1 H2
q2
er3
1 H2
q3
2）散度
r gF
1 H1H 2 H 3
H2H3 q1
F1
H3H1F2
q2
H1H2F3
q3
3）旋度
H1er1
r
r
1
rotF F
H1H2H3 q1
H1F1
H 2er2 q2
H 2 F2
H3er3 q3
H3F3
4）拉普拉斯算子
2
1 H1H 2 H 3
为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca) c a （ c常数）
M
S
（2) (a b) a b （3) (a) a a
散度的微分形式为：
V
散度
( 为标量）
r gF
Fx
Fy
Fz
x y z
向量场的环量和旋度
物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。
环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分
q1
{
H2H3 H1
q1
q2
H1H3 H2
q2
q3
H 2 H1 H3
q3
}
5）算子
r a•
r 该算子作用的函数在 a 方向的微分
增量的 a 倍
r a•
a1
a2
a3
H1 q1 H2 q2 H3 q3
4）拉普拉斯算子
2
1 H1H 2 H 3
q1
{
H2H3 H1
q1
S
l
图0.4.1 通量
称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。 在直角坐标系中
div a ax ay az a x y z
有源场和无源场：
散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的
通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场
a 称d l为向量a沿曲线l的环量。
l
Ñ rot a n lim 1
s0 S
l
a d l n
旋度定义：
取微小圆柱体， a取为速度 ，v法线方向为
个微元体进行以下积分
Ò。 n和vds n
的方向满足右手螺旋法则。
定义：
Ò rot v lim 1
n vds
0
s
，n对整 v
可证：
B 张量
一、张量的阶
与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。 n=0称为零阶张量（标量） n=1称为一阶张量（向量） n=2称为二阶张量
二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。 2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。
三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该
H1dq1 dx2 dy2 dz 2
2
2
2
x y z
q1
q1
q1
dq1
所以
H1
x q1
2
y q1
2
z q1
2
同理：
H2
x q2
2
y q2
2
z q2
2
2
2
2
r r H3
x
q3
y q3
z q3
r
q2
H1H3 H2
q2
q3
H 2 H1 H3
q3
}
5）算子
r a•
r a•
a1
a2
a3
H1 q1 H2 q2 H3 q3
柱坐标及球坐标下的拉梅系数及常用微分算式
柱坐标系 (r,, z) Hr 1 H r Hz 1 球坐标系 (r,,) HR 1 H r H r sin
柱坐标的微分算子
哈密顿算子
，
r r z