2a ﹣a =2 九年级中考数学模拟试卷考试时间：100 分钟满分：120 分一．选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1．﹣的倒数是（ ）A ．B ．3C ．﹣3D ．﹣2．下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2=a 4 B ．（a 2）3=a 5C ．a 5•a 2=a 7D ． 2 23. 股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约 95 000 000，正向 1 亿挺进，95 000 000 用科学记数法表示为（ ）户．A ．9.5×106B ．9.5×107C ．9.5×108D ．9.5×1094. 图中几何体的左视图是（ ）A. B ． C ． D ．5. 如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（ ）A ．115°B ．l05°C ．100°D ．95°6. 某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（ ）A ．4B ．4.5C ．3D ．27. 一件服装标价 200 元，若以 6 折销售，仍可获利 20%，则这件服装的进价是（ ）A ．100 元B ．105 元C ．108 元D ．118 元8. 如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB=15°，则∠AOB ′的度数是（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°9. 已知正六边形的边心距为 ，则它的周长是（ ）A ．6B ．12C ．D ．10.如图，已知矩形ABCD 中，AB=8，BC=5π．分别以B，D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧分别交对角线BD 于点E，F，则图中阴影部分的面积为（）A.4πB．5πC．8πD．10π二．填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24 分）11．9 的平方根是．12．因式分解3x2﹣3= ．13．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．14.在一个不透明的袋子里装有6 个白球和若干个黄球，它们除了颜色不同外，其它方面均相同，从中随机摸出一个球为白球的概率为，则黄球的个数为．15.在平面直角坐标系中，点A 和点B 关于原点对称，已知点A 的坐标为（﹣2，3），那么点B 的坐标为．16.已知A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．三．解答题（一）（本大题3 小题，每小题6 分，共18 分）17.计算：．18.解不等式组：19.如图，四边形ABCD 是平行四边形．（1）用尺规作图作∠ABC 的平分线交AD 于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）（2）求证：AB=AE．四．解答题（二）（本大题3 小题，每小题7 分，共21 分）20.商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件．（1）若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？（2）设每件降价x 元，每天盈利y 元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？21.如图，甲转盘被分成3 个面积相等的扇形，乙转盘被分成2 个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆内的概率．22.如图，已知△ABC 是等边三角形，点D、F 分别在线段BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．五．解答题（三）（本大题3 小题，每小题9 分，共27 分）23.如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点B，连接OC 交⊙O 于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB 于点G．（1）求证：点E 是的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若sin∠BAD= ，⊙O 的半径为5，求DF 的长．24.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？25.已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P 放在射线OM 上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB 与点C，D.（1）如图，当点C、D 都不与点O 重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM 于E，设CD=x，PE=y，求y 与x 之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB 交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB 分别交于点C，F，且△PDF 与△OCD 相似，求OD 的长．﹣ ﹣ 参考答案及评分标准一．选择题（共 10 小题）C C B B B A A B B A二．填空题（共 6 小题）11． ±3 ．12． 3（x+1）（x ﹣1） ．13． 30 14． 2 ．15． （2，﹣3） ．16． ＜三．解答题（共 9 小题）17. 计算：．解答： 解：原式=24× +1，… ........... 4 分= ．…............6 分18. 解不等式组： ．解答：解：解不等式 4x ﹣8＜0，得 x ＜2；… ........... 2 分解不等式，得 2x+2﹣6＜3x ，即 x ＞﹣4，… ........... 4 分所以，这个不等式组的解集是﹣4＜x ＜2．… ........... 6 分19. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形．（1） 用尺规作图作∠ABC 的平分线交 AD 于 E （保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）（2） 求证：AB=AE ．解答：（1）解：如图 BE 是所求作的：…………3 分（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBC ，… ........... 4 分∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EBC ，∴∠ABE=∠AEB ，… ........... 5 分∴AB=AE ．… ........... 6 分20.商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件．（1）若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？（2）设每件降价x 元，每天盈利y 元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？解答：解：（1）设每件降价x 元，则销售了（20+2x）件，（40﹣x）（20+2x）=1200，… ...........1 分解得x1=10，x2=20，… ........... 2分因为要减少库存，x=20．即降价20 元；…........... 3 分答：降价20 元时可降低库存，并使每天盈利1200 元；… ........... 4分（2）y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800 .............. 5 分当x=15 元时，有最大值y=1250，… ........... 6分每件降价15 元时商场每天的盈利达到最大1250 元．… ........... 7 分21.如图，甲转盘被分成3 个面积相等的扇形，乙转盘被分成2 个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆内的概率．解答：解：（1）…………3 分由树状图得：一共有6 种等可能的情况，点（x，y）落在坐标轴上的有4 种， (4)分∴P（点（x，y）在坐标轴上）= ；… ........... 5分（2）∵点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆内的有（0，0），（0，﹣1），….......... 6 分∴P（点（x，y）在圆内）= ．… ........... 7分22.如图，已知△ABC 是等边三角形，点D、F 分别在线段BC、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．解答：证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，…........... 1 分∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），….......... 2 分∵DC=EF，∴四边形EFCD 是平行四边形；…........... 3 分（2）连接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB 是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，…............... 4 分∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，… ........... 5分∴△AEB➴△ADC，…............ 6分∴AE=AD．…........... 7 分23.如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点B，连接OC 交⊙O 于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB 于点G．（1）求证：点E 是的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若sin∠BAD=，⊙O 的半径为5，求DF 的长．解答：（1）证明：连接OD；∵AD∥OC，∴∠A=∠COB；…........... 1 分∵∠A= ∠BOD，∴∠BOC= ∠BOD；∴∠DOC=∠BOC；… ........... 2分∴，则点E 是的中点；…........... 3 分（2）证明：如图所示：由（1）知∠DOE=∠BOE，∵CO=CO，OD=OB，∴△COD➴△COB；… ........... 4 分∴∠CDO=∠B；又∵BC⊥AB，∴∠CDO=∠B=90°；… ...........5 分∴CD 是⊙O 的切线；… ........... 6 分（3）解：在△ADG 中，∵sinA=，设DG=4x，AD=5x；∵DF⊥AB，∴AG=3x；又∵⊙O 的半径为5，∴OG=5﹣3x；…........... 7 分∵OD2=DG2+OG2，∴52=（4x）2+（5﹣3x）2；∴x1= ，x2=0；（舍去）… ........... 8 分∴DF=2DG=2×4x=8x=8× ．…........... 9 分24.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解答：解：（1）M（12，0），P（6，6）．… .......... 2分（2）设抛物线解析式为：y=a（x﹣6）2+6 ............... 3 分∵抛物线y=a（x﹣6）2+6 经过点（0，0）∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣…………4 分∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．…........... 5 分（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）D（m，﹣m2+2m）． (6)分∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）…............ 7分=﹣m2+2m+12=﹣（m﹣3）2+15．… ........... 8 分∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3 米时，AD+DC+CB 有最大值为15 米．… ........... 9分25．（2013•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在射线 OM 上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线 OA ，OB 与点 C ，D（1） 如图，当点 C 、D 都不与点 O 重合时，求证：PC=PD ；（2） 联结 CD ，交 OM 于 E ，设 CD=x ，PE=y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3） 如图，若三角板的一条直角边与射线 OB 交于点 D ，另一直角边与直线 OA ，直线 OB 分别交于点 C ，F ，且△PDF 与△OCD 相似，求 OD 的长．解答：（1）证明：作 PH ⊥OA 于 H ，PN ⊥OB 于 N ，则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD ，∵OM 是∠AOB 的平分线∴PH=PN ，∠POB=45°，…............ 1 分∵在△PCH 与△PDN 中，，∴△PCH ➴△PDN （ASA ）… ........... 2 分∴PC=PD ；… ........... 3 分（2）解：∵PC=PD ，∴∠PDC=45°，∴∠POB=∠PDC ，∵∠DPE=∠OPD ，∴△PDE ∽△POD ，… ........... 4 分∴PE ：PD=PD ：PO ，… ........... 5 分又∵PD 2= CD 2，∴PE= 1 x 2，即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= 1x 2；… ............ 6 分 44 （3）如图 1，点 C 在 AO 上时，∵∠PDF ＞∠CDO ，令△PDF ∽△OCD ，∴∠DFP=∠CDO ，∴CF=CD ，… ........... 7 分∵CO ⊥DF∴OF=OD ............... 8 分∴OD= DF=OP=2；… ........... 9 分。