第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(2222222222)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p xx p p p x px y p x px p y x C x dxdpdx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dxdy ++-=⇒++-+=⇒+-=⇒-=⇒=+-=+-=⇒-=⇒=+=++⇒=+++⇒+++=++==++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y xC xC xC dx dp xx x x x x x xx dx dp dxdp dx dp dxdy +=⇒+=⇒=⇒=+-=+-=⇒-+-=⇒-=⇒-=⇒=+=++⇒++++==+=（特解）解：dydqqyq y y dydq q ydydx pyp p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：yy y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y yy ytyyyyy qyC dydq dy dq q y dy dq dy dqq y dy dq dydq qyqyy dy dq 32323232sin 2cos 2313133223232322sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0)(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=⇒=⇒=⇒=-+=⇒=⇒-=⇒=+=-+⇒=+-+⇒=-++⇒-（通解）2．用参数法求解下列微分方程：（特解）当当由解：令21cos 0sin )](cos[2)](cos[20sin .sin ,,sin ,cos 2,sin ,cos 4)(52)1(52510210210sin sin 2)cos 2(sin 552552522222552552552±=⇒±=⇒=+-=+-=⇒+-=⇒-==⇒=⇒≠==+∞<<-∞=====+y t t b C x C x y Cdt x dt dx t a tp x t p t y t p t y y ttdt t d tdydxdy dxdy 故解：令dt t sh xht d sht dx sht dy sht dx dy e e sht e e cht shtp cht x dxdy x t t t t 3)(3332,2,3,.1)(3).2(222===⇒=-=+====---Ct t sh Ct e e C t d e e Cdt tsh y t t t t +-=+-+=+-+=+=--⎰⎰)2241(31)4(381)2()2(381322222Cdt t t t Cdt tt t v dtv v t t vt u t vdvdu v u vdu vdv udu pdxdy v u y v p u x x y tt t vdv t t t dv dtt dv dtt dvvdt tdv t vdttdv dv v u vu vv u dudv dxdy vu vu++---=++--==⇒=⇒=+⇒=⇒=-=⇒===-==⇒=-⇒=-=-====-+⎰⎰+---+---+-+--22122212ln ,,2)2(22,,,.0).(3(222212122212212211221222122222222令齐次方程解：令⎰⎰⎰⎰⎰-----=+--+-=+---16172411617241222)(221)(212222212212t tdt t dt dt t t t dt t t dt t t t⎰⎰⎰⎰--+---=--+--------=16172411617241161724116172411617241)(41161741(ln 21)(21)(41)(])[(21t dtt t dt t dt t t d αββαβαβαβαβαβαβαβααβα)()()()()()()()()()(1)()()()()()(,)(,,)41741()41741()(1.||ln )(ln ||ln 1721)11(17241))((41)(41417414174117411717411741174141174141174141174117414141174117414141174141174141174141174141174121172141741417411721417414174141741417414174141741172116172412122124174141741417414174141741417411617241212117212117212v u C v u v u C v u v u C v u v u C v u v u v u C vv u vv u CvuvuC t t C v t C v t t C t t t t ev t t t dt t t dtt t t t dt t dt Ct t t +=++=++=++=+++=++=++=++=+=--=+-=+---=+-----+-=+---+---=-+---=+----=+---=-----+-+-+---+----------------+--⎰⎰⎰⎰故令故（通解）,)()(22⎩⎨⎧+=+-=αββαp x C p x p x y （特解）故特解：⎩⎨⎧=====⨯======++=±-=±-=⇒±=⇒±=⇒±=⇒=+---+-+-+--+++++,,..172181722))161(161()171(1617144171417102222122122121721817222212417121281712641788264)179)(171(217917121721817222222222x y x y x x y b ax x x x x x x y a x x x x y u v v u t t t βαβ（通解）故令解：⎪⎩⎪⎨⎧++-==++-=⇒===⇒-=⇒-=⇒==-=-==++++++++++,,),()(,4),4(,).4(4)(.4)().4(3233323332331132)1(8141132)1(81414141432332333C y x Cy d xtd dy x x t xt x t x t x xt p x x x x x x t t t tt t t tt t t t t t dxdy dxdy dx dy dx dy dx dy dx dy 习题4-21．利用p-判别式求下列微分方程的奇解：的奇解。

为故的解，而为而解：’)1(4,0,02F 0112)1(44020),,(F ;)().1(24'"pp442222|||222x y x x Fdy dp p dy dp x F x y x y p x y p xp p y x dxdydx dy xy xy p x y x y p -==-=≠=≠-=-+=-=-=⇒⎩⎨⎧=+=-+=+=-=-=-=的解不是解：)2(02202),,(F ;(2).2(222x y p x y p xp p y x dxdydx dy xy -=⇒⎩⎨⎧=+=-+=+=的奇解。

为故的解为（解：)3(0,0,02)1(2.09494)1(2)3(00)1(2094)1(;94)()1).(3(||'20"2'22222==≠=-≠-=--==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-==y F y F p y F y p y y p y y dx dy y y p y pp p 习题4-31．试求克莱洛方程的通解及其包络：.0)("),(),(≠=+=p dxdyp p xp y ϕϕ解：通解为)(),(C C Cx y ∀+=ϕ).(':),()('),('),(),().0,0()1,(),0,0())('),("()()('),(')),(()(,:))(()()()('.0)(',0)())(()()).(()(),(),()('),('C x p p p y p x C C Cx y dxdyC C C C C C y C x C C C y y C x x x x y x C C x C x C Cx y x x x y x x x y x p p p p y p x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕωϕωωϕωωϕϕϕωϕωωϕωωϕϕϕ-=∧+-=-=∀+=≠+-≠--+-=-=∧+===∧+=⇒=⇒-=⇒⎩⎨⎧=--=+-+=+==+-=-=特解为故通解为其中；是否为奇解。

（是）判断特解为克莱洛方程的包络。

)()('C C C y ϕϕ+-=2试求一微分方程，使它有奇解为xy sin =.sin 1arccos 1arccos .4)(cos sin ,4)(cos )(,0cos )(2,0sin )().0,0()1,cos )(2(),0,0()cos ,1(,sin ,0)(2,0sin )(,sin ,2222222x y p p p xp y p p p xp y p x x y p x C x x dx dy C x x y C x x dx dyC x C x y C x C y C x C y C x =-+-=-+-=⇒--=⇒--=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-≠-+-≠=⇒⎩⎨⎧=--=-+-==有奇解为故微分方程解：领。