平行射影的概念：
直线 l与平面α相交------ l的方向称投影方向。 点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l的方向
在平面 α上的平行射影。
l
A
A
图形的平行射影：
一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。
正射影是平行射影的特例。
內切小球面 小球的切点 (焦点)
球面与锥面相切 內切大球面
思考：
1.两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？
2.两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？
3.将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，水 面是一个圆；如果将玻璃杯倾斜一定角度呢？
定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长 的点的轨迹叫做椭圆。
D
H
G A
Q
F
E
C
P
B
EF>AD
EF>PQ
ห้องสมุดไป่ตู้
用一个平面去截一个圆柱， 当平面与圆柱两底面平行时，截面是一个圆； 当平面与两底面不平行时，截面是一个椭圆。
截面
正圆锥面
H 底为圆
截痕为抛物线
正圆锥面 底面圆
截痕为双曲线
截面 截痕为双曲线
定理2 在空中，取直线 l 为轴，直线l与 l 相交 于O点,夹角为 ，l围绕 l 旋转得到以O为顶点，l 为母线的圆锥面。任取平面π,若它与轴 l的交角 为 （当 π与 l平行时，记 =0），则
(1)β>α,平面π与
截痕为圆
V(頂点)
圆锥高VH
截面
底面为圆
H
如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可 以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶 点,会出现三种情况:
截面与圆锥面的高不垂直時截痕可能为一个椭圆
V(顶点) 正圆锥高
截痕为椭圆
底面为圆
截面 正圆锥面
H
截面与圆锥的母线平行時其截面为抛物线
V 圆锥母线
圆锥高VH
O1
B
F2Φ G2
ΘF
O2
C
拓展到空间
EA
O1
B
G1 F1
D
F2Φ G2
ΘF
O2
C
A
O1
B
K1
G1
F1
P
F2
G2
D
O2
C
K2
Dandlin双球(丹迪林) 定理1.圆柱形物体的斜截口是椭圆.
l1
A
O1
B
G1
K1
F1
P
F2
G2
O2
C
K2
l2
椭圆的准线：l1 ，l2 离心率： e cos
截面与圆锥的高垂直時截痕为圆
二。平面与圆柱面的截线
探究：如图，AB,CD是两个等
圆的直径，AB//CD,AD、BC均 与两圆相切。作公切线EF, E A
O1
B
切点分别为F1, F2,交BA,DC 的延长线与E,F,交AD于
G1 ,交BC于G2 ，设EF 与BC,CD的交角分别
为φ，θ。
G1 F1
D
F2Φ G2
ΘF
O2
C
(1)G2F1 G2F2 AD
G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD
(2)AD G1G2
G1G2 G1D F2G2
EA
G1D G2C
G1D G1A ?
G1 F1
AD
3 G2F1 cos cos.
G2 E
D
G2F1 BG2
G2F1 BG2 cos cos(900 ) cos.
G2E G2E
圆锥的交线为椭圆;
(2) β=α,平面π与
圆锥的交线为抛物
线;
(3)β<α,平面π与
圆锥的交线为双曲
线。
l
l
拋物线焦点的产生 球面与圆锥面相切(切点圆) 含切点圆的平面
(切点面) 內切球面
圆锥面
由截面截出的拋物线
截面与切点面交线 (准线)
对称轴 球的切点
(焦点)
截面
椭圆焦点的产生 球面与锥面相切 大球的切点 (焦点) 由截面截出的椭圆 截面 圆锥面
复习回顾 A
B A
M
A´
N
点在直线上的正射影
拓展延伸
A
M
A´ B´ N
线段在直线上的正射影
A´
点在平面上的正射影
图形在平面上的正射影
思考：
一个圆所在的平面β与平面α平行时，该 圆在α上的正射影是什么图形？
当β与α不平行时，圆在α上的正射影是什 么图形？
如果 β与α垂直，圆在α上的正射影又是 什么图形？