3.2 平面与圆柱面的截线
►一层练习
1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( )
A.
3－12 B.12 C.5－12 D.22
答：D
2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.33
C.32
D ．非上述结论 答：A
3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( )
A ．22
B ．2
C ．4
D ．4 2
答：C
4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所截圆柱面产生的截面形状是________．
答：圆 圆或椭圆
►二层练习
5．下列说法不正确的是( )
A ．圆柱面的母线与轴线平行
B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
答:D
6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________.
答：45
7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．
解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322
. 答案：322
8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．
解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2，
∴短轴长为4.
设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12
. ∴2a ＝4b ＝8，c ＝
a 2－
b 2＝2 3. ∴e ＝
c a ＝234＝32
. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为
32. ►三层练习
9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________．
解析：依题意知，短轴长为2b ，
长轴长为2a ＝
2b sin 30°＝4b ， ∴c ＝
a 2－
b 2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝32
. 设P 到F 1距离为d .则
d 3b ＝32， d ＝32
b . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ，
∴|PF2|＝
5
2b.
答案：
5
2b
10．已知圆柱底面的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．
解析：设截割圆柱的平面为δ，与δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为点C1、C2，切点分别为点F1、F2，如图所示．
由题意可知，C1F1⊥δ，C2F2⊥δ，
∴C1F1∥C2F2，
∴C1、F1、C2、F2共面．
设C1C2与F1F2相交于点C.
∵C1F1⊥截面δ⇒∠C1CF1＝60°⇒C1C＝
C1F1
sin 60°
＝2
3
2
＝43
3(cm)，
同理：C2C＝43
3(cm)，
∴O1O2＝C1C＋C2C＝
83
3(cm)．
即两个内切球的球心间的距离为83
3cm.
11．已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．解析：易知长半轴长a＝
12
6
＝6，短半轴长b＝r＝3，
两焦点间的距离2c＝122－62＝6 3.
椭圆离心率e＝c
a
＝3
2.
设截面与母线的夹角为φ，则cos φ＝3
2.
∴φ＝
π
6.
12．如图，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
解析：设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
由已知可得a＝10，b＝6，c＝a2－b2＝8，e＝c
a
＝4
5.由椭圆定义PF1＋PF2＝K1K2＝G1G2＝20.
又∵PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，得PF1
PQ
＝4
5.∴PQ＝
25
4.
13．已知圆柱底面半径为3，平面β与圆柱母线夹角为60°，在平面β上以G1G2所在直线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面β与圆柱截口椭圆的方程．解析：过G1作G1H⊥BC于H.
∵圆柱底面半径为3，
∴AB＝2 3.∵四边形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2 3.在Rt△G1G2H中，G1G2＝G1H
sin∠G1G2H
＝23
3
2
＝4.又椭圆短轴长等于底面圆的直径23，
∴椭圆的标准方程为
x2
4
＋y2
3
＝1.。