uuy,v0 ,ppx
• 满足方程：
1 dp d2u 0 dx dy2
• 假定流动受到小扰动，即：
ux, y,t uyux, y,t vx, y,t vx, y,t px, y,t px px, y,t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
u x
临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上）
（金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）
对于非圆截面管道： R e v d H
式中：
dH
4A S
—— 水力直径
式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。
用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：
当 Re < Rec = 2320 层流
当 Re > 2320
四、涡
普遍认为，湍流运动是由各种尺度的涡叠 加而成的，这些涡的大小具有明显的上下限。上 限主要由装置决定，下限则取决于粘性。同时， 涡还是湍流流动中能量的传递方式。
五、湍流运动与分子运动论比较
项目
1. 基元素 2. 基元素性质 3. 基元素数目 4. 特征长度 5. 基元素速率 6. 运动性质
AdxUFdt
由于：
dxU FAUUAU 2
dt
其中ρAU即为动量。应力为单位面积上的 受力。
当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.
应力和应变率张量
Du Dt
Fb
P
其中Fb为质量力，P为内力张量。
P τ p u I 2 S p2 3 u I
p为压力，各向同性，λ为体膨胀粘性系数 ，根据Stokes假设， λ=-2μ/3。
Dt
令速度 uuivjwk，可将方程展开：
u x
v y
w z
0
(1)
u t
u
u x
v
u y
wu z
p x
xx
x
xy
y
xz
z
(2)
v t
u
v x
v v y
w
v z
p y
yx
x
yy
y
yz
z
(3)
w u t
w x
v
w y
w w z
p z
zx
x
zy
y
zz
第五章 湍流与管流
§5-1 雷诺实验
一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态）
层流 —— 流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。
湍流 —— 流体质点具有无规则的横向脉动。引 起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。
二、雷诺数（流态的判定）
Re vd
—— 雷诺数 (无量纲）
z
wt wxu
wv
y
wzw
pzx
z x
zy
y
zz
z
• 逐项平均，并注意到：
uiuj uiuj uiuj uiuj
xj
xj
xj
xj
• 例如：
uv uv uv uv y y y y
• 对连续方程平均：
uvw0或uj 0
x y z
xj
• 平均后的动量方程：
ui uiuj uiujpij t xj xj xi xj
湍流
雷诺判据
雷诺数的物理意义：流体运动时所受到的惯性 力与粘性力之比。
5-2 湍流的基本现象与定义
一、现象：
1. 洪水或湍急的河流。 2. 火箭发射时的尾气。 3. 风、旗子、烟囱等。风吹在脸上的 感觉。
火山爆发
湍流
达•芬奇的想象
圆球尾流
爆炸
木星大红斑
二、定义：
Taylor和von Carman ,1937年：
FmaFi
mai
FFxy
max may
Fz maz
(2) 一个表达式的某个自由指标可以 全体的换用相同取值范围的其他字母。
3. 缩并——将自由指标变成哑指标，如：
1
2t uiuj
缩 并 tui2ui
tux2ux
uyuy 2
uzuz 2
tv22t动能
4. 克罗内克尔(Kronecker)记号：
当β2<0，扰动随时间衰减，流动稳定。反 之则不稳定。 β2=0称为中性稳定。
上面的方程最后可得：
u 2 u i R e 2 2 4
该方程称为奥尔-萨默菲尔德方程，为四阶 微分方程，满足四个边界条件：
y h, 0 y h, 0
相当于满足壁面无滑移条件。
•其中Re=U(2h)/ν。
引入流函数Ψ，自动满足：
u ,v
y
x
于是：
2
x2
2
y2
将Ψ进行傅里叶展开，将每一个分量代入方程，
典型的分量为：
x ,y ,tye ix t
ye2 t c o sx 1 t isin x 1 t
其 中 2 h , 1 i2 , i 1 ,为 扰 动 的 波 长
• 1. 爱因斯坦求和符号（哑标或哑指标）
a a ie i a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 , i 1 ,2 ,3
•
数学式中的任一项，如出现一对
符号相同的指标，如上式中的i，表示对
这个指标遍其取值范围求和，上式中为
1到3。又如动能：
Ev 221 2u2v2w2 1 2uiui
p y
x
yx v u
y
yy v v
z
yz v w
w t
u
w x
v
w y
w
w z
p z
x
zx w u
y
zy w v
z
zz w w
与层流流动的方程相比，应力项多出一部 分，即：
τxyxx
xy yy
xyzz uvuu
湍流是一种不规则运动，当流体流过 固体表面，或者甚至当相邻的同类流体互 相流过或绕过时，一般会在流体中出现这 种不规则运动。
Key Word: 不规则性。
J. O. Hinze： 流体的湍流运动是一种不规则的流动状
态，它的各种量随时间和空间坐标表现出随 机变化，因而能辨别出不同的统计平均值。
Key Words: 不规则性，随机，统计平均值。
涡的形状和数目随涡的形 状和数目随边界形状改变
而急剧改变
长，有记忆
玻氏微积分方程
无
其中的致命伤：6,8,9 科学：1.确定性。2. 可重复性。
5-3 稳定性理论的基本思想
为了求解方程，需要对问题进行数学上 的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时， 给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方 程处于不稳定状态。
v y
0
u
t
u
u x
v u y
1
p x
2u x2
2u
y2
v
t
u
v x
1
p y
2v x2
2v y2
无量纲化，取特征量速度——U，长度——2h， 时间——2h/U，从两式中消去p’，并令：
v u
x y
•及其满足的方程：
tu xv y 2u 2R 1e 2 x 2 2 y 2
• 应用连续方程：
u ti uj x uij x p i xj ijuiuj
• 分量形式：
u t
u
u x
v
u y
w
u z
p x
x
xx u u
y
xy u v
z
xz u w
v t
u
v v x
v y
w
v z
对不可压流体，有： u0
因此： p u I p
应变率张量：
u
x
S
1 2
u y
v x
1 2
w x
u z
1 2
u y
v x
v y
1 2
w y
v z
1 2
w x
u z
1 2
w y
v z
w
z
写成张量形式：
Sij
1 2
ui xj
uj xi
因此应力张量可以写成：
fx ,y ,z ,t fx ,y ,z ,t fx ,y ,z ,t
并有：
1. f0
2. f f
3. fgfg
4. f gf g 5. fgfgfg
6.f f x x
7.f f t t
对于公式5的证明：
fgffggfgfgfg fg
fgfgfgfg fgfg
不可压流体湍流运动的时均方程组。 原始方程： 连续方程： u0 动量方程： Dupτ
fx,y,z,t1 T
T
2 T
2
fx,y,z,tdt
式中的时均周期T应比脉动周期大很多，以 包含大量的脉动，同时又比宏观流动的特征时间 小很多，以便充分描述时均值随时间变化。若时 均值不随时间变化，称为时均定常湍流，简称定 常湍流。
一般的，我们把物理量 f x, y,z,t分解为时均 值 f x, y,z,t 与脉动值 f x, y,z,t之和，即：
当Re≥2320时，开始发生湍流，称为临界雷 诺数。但当雷诺数从小到大变化时，通常要大于 临界雷诺数才会产生湍流，若管子足够光滑，扰 动足够小，可以到40000以上才开始湍流。
雷诺数的含义在于惯性力比粘性力。当雷
诺数较低时，粘性能够阻尼掉扰动，从而使层流 状态得以保持。但当Re很大时，惯性力的影响超 过粘性力的影响，使扰动放大，得以发展，最终 出现湍流。如同F1赛车，低速行驶时，轻微的碰 撞不影响赛车的行进。但高速行驶时，轻微的扰 动，哪怕是一粒石子，也会产生严重后果。因此 国际汽联对F1赛道一直有着相当严格的规定。