经典差分格式及其性质
?u ? c ?u ? 0 ?t ?x
u ?x,0 ?? φ?x?
精确解
u ?x, t ?? φ ?x ? ct ?
FTBS Lax 格式
un?1 j
?
u
n j
?
c
u
n j
?
un j?1
?
0
?t
?x
稳定条件 CFL ? 1
? ? u
n j
?
1
?
1 2
??u
n j?1
?
u
n j?1
CDS (二阶)
一阶格式
达到与均匀网格同样的收敛速度：O (D x 2)
离散格式精度（阶数）的含义
? 当Δx? 0(即对网格不断加密)时，截断误差 减小的程度(收敛速度)。
? 高阶格式的优势是在网格不断加密的过程 中体现出来的，所以：
? 只有在网格足够密时，高阶格式才具有与 之相称的高精度。
均匀网格二分加密：
有限体积法基本思想
? 多项式插值
三点二次多项式插值：
? 格式精度等于插值次数减一 ? 偶数次插值、均匀网格：精度加一
五点四次多项式插值：
二阶导数差分格式
扩散项处理：
高精度格式
? 高精度格式需要更多节点 ? 方程更难求解 ? 边界条件更难处理 ? 二阶格式常用
耗散与色散
耗散
数值扩散系数ν数
? 耗散只存在于对流项的一阶离散格式 ? 正比于网格步长
离散方法
? 有限差分 ? 有限元 ? 有限体积
有限差分
有限差分基本思想
结构化网格：
?f ruj ?x
微分-> 差分：
有限差分：Taylor 级数展开
FDS： BDS： CDS：
截断误差：
有限差分：多项式插值
二阶CDS：
均匀网格高阶格式：
迎风(Upwind)格式
非均匀网格
? 截断误差 ~ 网格尺寸*导数
董f , D x ? 动f , D x ?
误差均匀分布
? 节点数给定，非均匀网格可使误差降到最小 ：网格自适应
非均匀网格：加密与截断误差
CDS：
一阶
CDS均匀网格：
Dx2
6
二阶
对非均匀网格进行系统加密可以
达到与均匀网格同样的收敛速度：O (D x 2)
非均匀网格：加密与截断误差
加密方法
? 简单二分法 ? 固定增长因子
计算流体力学
CFD基本要素
? 数学模型 ? 离散方法 ? 坐标系 ? 计算网格 ? 有限近似 ? 求解方法 ? 收敛准则
CFD方法性质
? 方程的相容性(Consistency) ? 数值算法的稳定性 ? 解的收敛性
? Lax等价定理
? 守恒性 ? 有界性 ? 模型的可实现性 ? 精度
? 模型误差、离散误差、迭代误差
?
σ
u
n j?
1
?
u
n j?1
??
σ ? c? t / ? x
Leap-Frog
un?1 j
?
u n?1 j
?
f
n j?1
?
fn j?1
?
0,
(f ? cu)
2? t
2? x
Lax-Wandrof
u
n? j
1
?
u
n j
?
c
?t ?x
u
n j?1
?
u
n j?1
2
?
1
?
?
t
2
?
2 ?? ? x ??
δx? cδx? cu j
非均匀网格：加密与截断误差
( )e
r o t 2h
( ) t
et h
非均匀网格CDS (一阶)收敛速度：
ì??í??>=
4, 4,
re = 1 re ? 1
对非均匀网格进行系统加密可以
均匀网格：
r t
=
ì???????í???????? ((((DDDDxxxx))))2222hhhh
= =
4, 2,
u ?u ?
α ?u ? g ?x?
?n ?
α1
?x ?? u
?n
?
? α2 ?x?u ?
?
h ?x ?
? 边界附近的差分可能要用到边界之外的节点 ? 如果不降低精度，需采用不同的差分格式
四次多项式插值：
边界导数差分格式
FDS：
内部节点三次插值：
离散后的代数方程
有限差分
微分方程
代数方程
?f ru
un j?1
?
u
n j
? ? ? ? ? f
? ? a j?1 2
?
?? ?
u j?1 ? f u j u j?1 ? u j
, u j?1 ? u j ? 0
? ?
a
?u
j
?,
? ? u j?1 ? u j ? 0
经典差分格式性质比较
，精确解
1 0.5
u u0, 0
-0.5
u0 FTBS lf lw lpfrog bw roe bwsplit
j ?x
计算网格单元与节点存储
代数方程组
合适的节点排序
稀疏矩阵 带矩阵
离散误差
微分方程真实解 离散方程真实解
线性问题：
截断误差 离散误差
离散误差估计与Richardson外插
? 网格足够细 ? 单调收敛
Richardson
外插:
fR h
=
f h
+
ed h
: O (hr ), r > p
有限体积法
? ? f ? ? c? u, c? ? c ? c / 2
f ? f ? ? f ? , c ? c? ? c?
? ? un?1 j
?
u
n j
?
?t ?x
f?jn?1 2 ? f?jn?1 2
? ? ? ? ? ? f?jn?1 2
?
1 2
??
f
u
n j
?f
un j?1
?? ?
1 2
an j?1 2
网格Peclet数与网格Reynolds数
数值扩散系数ν数
数值耗散不能大于物理耗散： 或
色散
色散关系： CDS approximation of a wave:
差分格式只能正确模拟低频分量（相对于kmax）
色散与振荡
CDS
UDS
? 网格较粗时产生较大的虚假低频分量 ? 一阶格式的强耗散抹平了振荡
r t
=
ì???????í???????? ((((DDDDxxxx))))222hh2hh
= =
2, 4,
一阶格式
CDS (二阶)
r =9 t r =9 t
r = 16 t
二阶导数差分格式构造方法
? 对一阶导数差分
二阶导数差分格式构造方法
? Taylor 级数展开：量 ，
一阶
二阶导数差分格式构造方法
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
经典差分格式性质比较
，精确解
1
0.8
0.6
u
0.4
Initial ftbs lf lw lpfrog bwsplit roe bw
0.2
0-1
-0.5
0
0.5
1
x
边界条件差分格式
偏微分方程边界条件：
1、Dirichlet问题 2、Neumann问题 3、Robin问题
经典差分格式及其性质
Beam-Warming 流通矢量分裂
Roe格式
? ? un? 1 ? ? j
?
u
n j
?
c? t
3u
n j
?
4u
n j?
12? x?来自un j? 2?
c2
?t
2
u
n j
?
2u
n j?1
?
un j?2
2
?x 2
uin ? 1
?
u
n j
?
?
? x
f
? j
?
?
? x
f
? j
?
0
?t
?x