不定积分的几何意义
积分曲线——函数f x 的原函数的图形称为函数f x 的积分曲线。
不定积分的几何意义：不定积分 f x dx 的图形是积分曲线族， 这些曲线族可由其中一过点1 4，且其上任意一点处的切线的斜率为2x的曲线方程。 ， 解 设曲线方程为 y f x 则依题意有： 1 4, f x 2x f
第四章 不 定 积
不定积分的概念
不定积分的性质 不定积分的计算
分
第 一 节 不定积分的概念与性质
学习要求 理解原函数及不定积分的概念 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式
◆原函数的概念
为 v(t ) s(t ) ;如果已知物体的运动方程为 v v(t ) ,则物体运动 的位移如何计算呢? ? v(t )
4 2 2
解
3x 4 3x 2 2 x 2 2 1 原式 dx 2 x 1 1 2 3x 2 2 dx x 1
x 2 x arctan x C
3
例8
cos 2 x dx 2 2 sin x cos x
2 2
cos x sin x 解 原式 sin 2 x cos2 x dx 1 1 2 dx 2 sin x cos x
2、如果 F ( x) G( x) f ( x)，则 F ( x) G( x) C 。 （常数） 结论：如果函数 f ( x) 在区间 I 内有原函数 F ( x) ，则 f ( x)
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子 F ( x) C 表示。 ◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内一定有原函数。
2 k f x dx k f x dx（ k
◆不定积分的计算方法
直接积分法、换元积分法、分部积分法
第一类换元积分法 是常数）
第二类换元积分法
◆直接积分法
例3
1 1 2 1 x x dx x
解
3 5 1 4 原式 1 x 2 x 4 dx x

x
例6
1 sin x sec x cos x dx
解 原式
sec x sec x tan x dx sec x sec x tan x dx tan x sec x C 3x 5 x 1 例7 x 1 dx
2
1 4 7 1 x x 4 4 x 4 C 7 x
不能漏写积分常数
x x x
3 4
◆直接积分法
例4
3 2 3
x
x
3 2 dx
x

x 2 2 3 C 解 原式 2 3 dx 2 x 3 3 ln 2 3 3dx 例5 1 cos 2 x 3 3 3 2 dx sec xdx tan x C 解 原式 2 2 cos x 2 2
◆不定积分的概念
定义 在区间I 上，f x 的带有任意常数项的原函数称为f x 在区间I 上的不定积分，记作 f ( x)dx。
积分号 即 F ( x) f ( x) 被积函数
f x dx — 被积表达式
f ( x)dx F (x) C
积分变 量
积分常数
2
(12) csc xdx cot x C
2
(13) sec x tan xdx sec x C (14) csc x cot xdx csc x C
◆不定积分的基本性质
1 f x g x dx f x dx g x dx
x R
所以 sin x 是 cos x 在
, 内的一个原函数.
问题： cos x 是 sin x 的( 导函数 ) 。 ? 问题：sin
x 的导函数是 cos x，它的一个原函数是 cos x 。
◆原函数与导函数的关系
原函数 导函数
◆原函数的性质
1、如果有F ( x) f ( x) ，则 F ( x) C f ( x)
1 dx 例 题 1、求 2 1 x 1 , 解 由于 (arctan x) ' 2 1 x
1 所以 arctan x是 的一个原函数， 2 1 x
dx 故 arctan x C 2 1 x 1 2、求 dx x 解 因为 ln | x | 1 x
1 所以 x dx ln | x | C, (x 0).
csc x sec x dx
2 2
cot x tan x C
作 业
• P106
•
3（2，4，6，8）；4；5
换元积分法
预习 第二节
x
x
1 (7) dx arctan x C 2 1 x arc cot x C 1 (8) dx arcsin x C 1 x 2 arccos x C (9) sin xdx cos x C (10) cos xdx sin x C (11) sec xdx tan x C
不定积分与导数的关系
Constant
f ( x)dx f ( x) 即 d f ( x )dx f ( x )dx (1) (2) F ( x)dx F ( x) C 即 dF ( x) F ( x) C
先积分，后微分，形式不变；先微分，后积分，相差一个常数。
引例：已知物体的运动方程为 s s(t ) ,则物体运动的即时速度
F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx, 则称 F ( x) 是 f ( x)在区间 I 内的一个原函数
定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 (antiderivative).
例如:因为
sin x cos x
所以 f x 2 xdx x 2 C
由 f 1 4，可得 C 3
所以所求的曲线方程为 y x2 3
◆基本积分表 P104
(1) 0dx C (2) kdx kx C 1 1 x C (3) x dx 1 ( 1) 1 (4) dx ln x C x (5) e dx e C x a x (6) a dx C ln a