算术平均值： 算术平均值：
用多次测得的算术平均值作被测量量的估值， 能减小随机误差的影响。设对同一测量量重复 测量n次，一般n≥6，测得值为xi，则算术平均值 为：
1 x = n
∑x
i =1
n
i
无限多次重复测量的算术平均值恰好等 于被测量量的真值； 有限次测量中，算术平均值就是真值的 最好近似，是多次测量的最佳值； 可以用算术平均值来近似代替真值作为 测量结果。
t0.95(v)
3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.13 2.09 1.96
• B类分量的近似评定：
直接测量量B类分量通常只考虑一项UB， 近似取计量器具的误差限值 ∆ I ：
U B ≈ ∆I
•
单次测量U进一步简化取
U≅
∆I
∆I：
•
实验室给出：
2.406 s 2 2 U = UA +UB = 1.959 + +∆2 ν −1.064 n I
式中，C为准确度等级；Vn 基准值，指第1测 量盘第10点的电压值； x 为标度盘示值。 V
【例１】 用0.2级，量程为20k的万用表测量某个电阻 的电阻值，测量结果为：3.92，3.89，3.88，3.86，3.88， 3.87，3.86，3.85，3.87，3.89，给出最终结果表示。 解：计算平均值
• 螺旋测微计或测量显微镜鼓轮的读数 — 要估读到1/10分度，少数也可估读 到0.2或0.5分度。
1.2.2 应注意的问题：
在十进制单位换算中, 其测量数据的有效数 字位数不变。
例如， 对于43.6mm，若以米为单位表示，则是 0.0436m，仍然是3位有效数字。
有效数字的科学表示法——通常在小数点前 保留一位整数，写成 × 1 0 N （N 可正可负） 的标准形式。
有效数字位数： 有效数字位数
有效数字的个数称为有效数字位数， 即使最后一位或几位是“0”，也必须写 上。
注意： 注意：4.45cm是三位有效数字，而4.450cm是四 位有效数字。
4.255mm
可疑数字（千分位）
4.25mm
可疑数字（百分位）
精度不同
4.250mm
零也一定要写上
表明精度
1.2.1
1.3.2.2 随机误差
随机误差是重复测量中以不可预知方式 变化的测量误差。 用一级0～25mm千分尺测得一铜丝直径 d/mm为： 19.465，19.466，19.465， 19.464，19.467，19.466， 19.887, 19.465
抵偿性: 即随机误差的算术平均值随着测量 抵偿性 次数的增加而减小，最后趋于零； 单峰性: 单峰性 即绝对值小的误差出现的概率大； 有界性: 有界性 即绝对值很大的误差出现的概率接 近零。
n s
)
n 为测量次数
2.406 tv (0.95) ≈1.959 + ν −1.064
(ν ≥ 3)
自由度 v= n-1
计算A类不确定度的 因子表（置信概率p＝ ％） 类不确定度的t 表1 计算 类不确定度的 因子表（置信概率 ＝95％）
自由度
3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 ∞
v
因子
系统误差包括己定系统误差和未定系 统误差： • 己定系统误差是指符号和绝对值已经知
道的系统误差分量； • 未定系统误差是指符号和绝对值未被确 定而未知的系统误差分量。一般只能估 计其限值或分布特征值。
系统误差的减小与修正： 系统误差的减小与修正：
• 对已定系统误差进行修正； • 选择适当的测量方法，减小和改 进系统误差影响； • 合理评定系统误差分量对应的B 类不确定度。
2.1 不确定度
表征被测量的真值所处的量值分布范围的 评定；对测量的不确定程度作出定量描述； 反映了可能存在的误差分布范围，即随机 误差分量和未定系统误差分量的联合分布 范围； 测量结果本教材采用扩展不确定度U表示。
• 实验数据处理时： 实验数据处理时：
通常先作误差分析， 剔除高度异常值， 修正已定系统误差， 再评定不确定度。
4) 机械停表和数字毫秒表
实验中使用的机械停表一般分度值为0.1s，仪器误 差限亦为0.1s。 数字毫秒表，其基值分别为0.1ms、1ms、10ms，其 仪器误差限分别为0.1ms、1ms、10ms。
5) 水银－玻璃温度计
实验室中其仪器误差限为0.5℃。
6) 旋钮式电阻箱
测量用的电阻箱分为0.02、0.05、0.1、0.2四个等级。 电阻箱内电阻器的阻值的误差与旋钮式的接触电阻 误差之和构成电阻箱的仪器误差。用相对误差表示 为
1.2.3
有效数字的运算法则
加减运算：运算结果的可疑位置与参与运算各 量中可疑位置最高者相同。
如 : 14.61 + 2.216 + 0.00672 = 16.8 3272 = 16.83
•
乘除运算：运算结果的有效位数一般与参与运 算的各量中有效位数最少者相同。
如 : 4.178 x 10.1 = 42.1978 = 42.2
原始数据有效位数的确定
通过仪表、量具等读取原始数据时，通 常要把计量器具所能读出或估计的位数全读 出来。
• 游标类量具——一般记下对齐线的数值，不必进行
更细的估读； • 对数字式显示仪表及有十进步进式标度盘的仪表— 一般应直接读取仪表的示值；
• 对指针式仪表——读数时一般要估读
到最小分度值的1/4~1/10；
1) 钢直尺（米尺）（分度值为1mm)
误差限为0.3mm,实验室也可为0.5mm。 2） 游标卡尺 其分度值通常为 0.02mm，0.05mm ，0.1mm 三种，它 们不分精度等级。其误差限分别为0.02mm，0.05mm ， 0.1mm 。 3） 螺旋测微计（千分尺） 本教程 约定为 0.005mm。
2.2 不确定度的估算
• 扩展不确定度U从评定方法上分为两类：
U = U + ∑ (U jB )
2 A j ２
A类分量UA：
（重复测量时） 是用统计方法计算 的分量
B类分量UjB（j = 1，
2，…）： 是用其它方法（非统计 方法）评定的分量
• A类分量UA的计算：
U A = tv ( p )
(
2 2
•
相对扩展不确定度：
扩展不确定度U与量值x之比：
U
r
U = x
直接测量结果的表示：
X = ( x ± U ) 单位
直接测量值其算术平均值的最终结果要根据扩展不确 定度进行有效数字修约， 即： 算术平均值最末位与扩展不确定度对齐位是可疑 数字位（其后的数字应按有效数字的修约规则进行修 约），得到最终的测量最佳值。 U一般只取一位有效数字，修约前首位数字较小 时（如1、2）可取两位。
1.3.2 误差的分类
系统误差 随机误差 粗大误差 （剔除）
1.3.2.1 系统误差
系统误差是重复测量中保持恒定 或以可预知方式变化的测量误差分量 ， 这类误差称为系统误差。
系统误差的来源：
• 仪器的结构和标准不完善或使用 不当引起的误差； • 理论或方法误差； • 环境误差； • 实验人员的生理或心理特点所造 成的误差。
∆ I＝ x m ⋅ N ％
式中，x m 为仪表的量程，N为仪表的准确度级别。
8) 单臂成品电桥
其仪器误差限为：
RN C ∆I = ( + x) 100 k
式中，C为准确度等级；k 值一般取10；x为刻度盘示 值；RN 为基准值。
9) 电位差计
其基本误差限为：
∆I
C Vn = ( + Vx ) 100 10
•
•
这里s就是一个间接测量
l R=ρ
量，可以通过测量直接测
s
量量直径d获得s 值，采用 千分尺测量： d＝（di＋ d0）单位
这里 d0 是千分尺的零点修正
值，di是每次测量值。 如何得到准确度较高的测量值？ 如何得到准确度较高的测量值？
第二节 有效数字
有效数字：
在测量的结果中可靠数字加上可 疑数字称为有效数字，简单地说就是 测量中有意义的数字。
实验标准（偏）差：
实验标准偏差 s 表征了随机误差引起的测 得值 xi的分散性，s 由贝塞尔法算出：
1 n 2 s= ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1
s 反映了随机误差的分布特征。s大表示测得值分散， 随机误差的分布范围宽，精密度低；s 小表示测得值密 集，随机误差的分布范围窄，精密度高。
第一章 测量与误差
第一节 测量与分类
物理实验离不开对物理量的测量 • 一个物理量的测量值必须包括数值 和单位两部分 • 计量单位采用SI国际标准单位制
物理量电阻R的测量？
可以用万用表直接测 量R； 可以通过欧姆定律测 量R＝U/I； 有的电阻可以通过公 式 R = ρl/s 测量；
直接测量
间接测量
例如： 0.000000021m应写成 2.1× 10−8 m 。 10V转换成以mV为单位时应写成 4 1.0 × 10 mV ，而不能写成10000 mV。
计算公式中的常数，如π、e、及1/3等 应比参加运算的各数中有效数字位数 最多的还要多取一位。
无理常数π等在公式中参加运算时， 其取的位数应比最终结果多一位． 计算公式中的系数不是测量而得，不 存在可疑数，因此书写不必写出后面 的 “0” 。 例如 R = D/2，R 的有效数字仅由直 接测量值 D 的有效位数决定。
•
直接测量：可以用测量仪器仪表或量具直接读 直接测量 出测量值的测量，称为直接测量，相应的物理 量称为直接测量量。 间接测量: 有些物理量需要依据待测物理量与 间接测量 有些物理量 若干个直接测量量的函数关系求出，这样的测 量称为间接测量。相应的物理量称为间接测量 量。 大多数的物理量都是间接测量量。