• 误差的表示方法： 误差的表示方法： ∆x × 100% －绝对误差 ∆x －相对误差 E = • 误差分类 －系统误差
x
－随机误差
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系统误差
• 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，其误差的大小和符号 定义：在相同条件下多次测量同一物理量时，
保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。 保持不变， 或按某一确定的规律变化，这类误差称为系统误差。
• 区别：产生的原因不同、误差的性质和处理的方法不 同。前者是非统计量，处理方法针对具体的实验情况 来确定；后者是随机量，在处理上有一套完整的统计 方法。 • 共同之处：系统误差与随机误差都是测量误差的一个 随机误差都是测量误差的一个 分量
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精密度、准确度、精确度
• 精密度高：指随机误差小，测量的 随机误差小，测量的数据很集中。 • 准确度高：指系统误差小，测量的平均值偏离真值小。 系统误差小，测量的平均值偏离真值小 系统误差 • 精确度高：指随机误差和系统误差都非常小，才能说 随机误差和系统误差都非常 系统误差都非常小，才能说 测量的精确度高。
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测量的要素
• • • • •
测量对象 测量手段（仪器、方法） 测量手段（仪器、方法） 测量结果 测量单位 测量条件
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测量误差及其分类
误差∆x＝测量结果 误差 ＝测量结果x －真值 x0 • 误差特性：普遍性、误差是小量 误差特性：普遍性、
– 由于真值的不可知，误差实际上很难计算 由于真值的不可知， – （有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计 算误差） 算误差）
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大； 小误差出现的概率比大误差出现的概率大； ②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 多次测量时分布对称，具有抵偿性 因此取多次测量的平 因此 均值有利于消减随机误差。 均值有利于消减随机误差。
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系统误差与随机误差的区别和联系 系统误差与随机误差的区别和联系
误差分量和未定系统误差的联合分布范围。 误差分量和未定系统误差的联合分布范围。
• 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，
正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为 可负也可能十分接近零； 零的正值，是可以具体评定的。 零的正值，是可以具体评定的。
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以电阻测量为例
X = x ± ∆x
(单位 单位) 单位
R ＝ 910 . 3 ± 1 . 4 Ω
测量值的单位
包括： 包括： 测量对象 测量对象的量值 测量的不确定度
表示被测对象的真值落在（ （X =x ± ∆x 表示被测对象的真值落在（x− ∆x ，x + ∆x ）范 围内的概率很大， 的取值与一定的概率相联系 的取值与一定的概率相联系。） 围内的概率很大， ∆x的取值与一定的概率相联系。）
1
µ表示 x 出现概率最大的值，消除系统误差后， 表示 出现概率最大的值，消除系统误差后， 的真值。σ称为标准差 称为标准差， 通常就可以得到 x 的真值。σ称为标准差，是曲线 的拐点 x ξ = ∫x 2 p( x ) dx
σ小 σ大
x
σ = lim
n→∞
2 ∑ ( xi − µ )
n
µ = x ± 2σ µ = x ± 3σ
随机变量的分布
正态分布： 正态分布：大量相对独立微小因素共同作用下得到的随机变 量服从正态分布。 量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以 近似看作服从正态分布。 近似看作服从正态分布。 2
p ( x; µ , σ ) =
2
1 x−µ 1 exp − σ 2π 2 σ
•
等精度测量与不等精度测量（按测量条件分） 等精度测量与不等精度测量（按测量条件分） 等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量， 等精度测量是指在同一条件下进行的多次测量，每 是指在同一条件下进行的多次测量 次测量的可靠程度相同； 次测量的可靠程度相同； 不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量， 不等精度测量是指在非同一条件下进行的多次测量， 是指在非同一条件下进行的多次测量 每次测量的可靠程度不相同。 每次测量的可靠程度不相同。
• 这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总 不确定度： 不确定度：
S = S +S
2 A
2 B
（物理实验教学中一般用的总不确定度，置信概率取为95%） 物理实验教学中一般用的总不确定度，置信概率取为 ）
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二、直接测量量不确定度的估算
• 简化处理方法： 简化处理方法：
－A 类分量SA 的估算：
L = L = 120 . 09 mm
测量列的标准偏差
σ
L
=
∑
n
i =1
( Li − L ) n −1
2
= 0.03mm
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测量误差与不确定度
• 不确定度的权威文件是国际标准化组织 不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、国际 、
计量局(BIPM)等七个国际组织 等七个国际组织1993年联合推出的 计量局 等七个国际组织 年联合推出的
• 结果表示： 结果表示：
修正掉已定系统误差项∆ －以测量列 x 的平均值 再修正掉已定系统误差项 0 得到被 测对象的量值。 测对象的量值。 －由A、B 类不确定度合成总不确定度 、 则：
X = (x − ∆0 ) ± (t n) sx + ∆
2 2
2 仪
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关于仪器误差限
• △ins一般取基本误差限或示值误差限（仪器误差限） • 电表 △ins=k % ·量程 • 电阻箱 △R=a%·R + nRb a----电阻箱的级别 R----取用的电阻值 n-----所用的旋钮个数 Rb---常数，对于0.1级电阻箱, Rb=0.001 • 大多数情况下把△ins简化为（许多仪器误差的成因分析和各 分量限值的计算相当复杂）非随机分量的B类不确定度SB
Guide to the expression of Uncertainty in measurement
• 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能
确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。 确定的程度。
• 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，
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x x =∑ i
sx =
2 ∑ (xi − x )
二、直接测量量不确定度的估算
• 总不确定度分为两类不确定度： 总不确定度分为两类不确定度：
A 类分量 A —— 多次重复测量时用统计学方法估算的分量； 类分量S 多次重复测量时用统计学方法估算的分量； B 类分量 B ——用其他方法（非统计学方法）评定的分量。 类分量S 用其他方法（ 用其他方法 非统计学方法）评定的分量。
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随机误差的处理举例
分度的游标卡尺测某一圆棒长度L， 次测量 例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度 ，6次测量 分度的游标卡尺测某一圆棒长度 结果如下（单位 结果如下（单位mm）： ）： 120.08,120.14,120.06, 120.10, 120.06, 120.10 则：测得值的最佳估计值为
《大学物理实验》不确定度 大学物理实验》 基础知识
1
主要内容
1 测量误差和不确定度估算的基础知识 2 实验数据有效位数的确定 3 作图法处理实验数据 4 数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据） 数据的直线拟合（最小二乘法处理实验数据）

一 、基本概念 测 量
• 物理实验以测量为基础：所谓测量就是借助仪器用某一 物理实验以测量为基础： 计量单位把待测量的大小表示出来。 计量单位把待测量的大小表示出来。即待测量是该计量 单位的多少倍。 单位的多少倍。 • 完整的测量结果应表示为：
• 主要来源：仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、人员误差等 主要来源：仪器误差、方法（理论）误差、环境误差、 • 分类及处理方法： 分类及处理方法： 已定系统误差： ①已定系统误差：必须修正
电表、螺旋测微计的零位误差； 电表、螺旋测微计的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。
3
测量的分类
•
直接测量和间接测量（按测量方法分） 直接测量和间接测量（按测量方法分） 直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果； 直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果； 就是把待测量与标准量直接比较得出结果 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数 间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的函数 关系经过计算从而得到被测量值的测量。 关系经过计算从而得到被测量值的测量。
1 n x = ∑ xi n i =1
σx =
( xi − x ) 2 ∑
i =1 n
n −1
σx大，表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低； 表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低； σx小，表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高； 表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高； σx可由带统计功能的计算器直接求出。 可由带统计功能的计算器直接求出。
P (x)
µ ξ表示随机变量 x 在〔x1，x2〕区间出现的概率，称为置信概率。 表示随机变量 区间出现的概率，称为置信概率。 实际测量的任务是通过测量数据求得µ 的值。 实际测量的任务是通过测量数据求得 和σ的值。 的值 x µ = lim ∑ i µ = x ±σ ξ = 0.683 n→∞ n
S A = tξ (ν ) S x =
tξ (ν ) n
Sx
Sx =
( xi − x ) 2 ∑ n −1
实验中用到的 t0.95 ( n − 1) 简写为 t ，列表如下 n n