北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共8小题）1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF 时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．CD上的点，分别是边BC、EAB=AD，∠B=∠D=90°，、FABCD2．（1）如图，在四边形中，；BAD．求证：且∠EF=BE+FDEAF=∠（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，EAF=∠BAD，（1且∠）中的结论是否仍然成立？1（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，EAF=∠BAD，且∠（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是．2211（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数量关系21仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB 交BC于点E（如图4）．若S=S，请直接写出相应的BF上存在点BAF，使的长．在射线BDE△△DCF24．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD 上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由．36．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形ABC；（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．48．认真阅读材料，然后回答问题：1=a+b），我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b222323223，…=a +3a+b），（a+bb+3ab=（a+b）a+b（（a+b）=a）+2ab+b n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n）取正整数时可以单独列成表中的下面我们依次对（a+b形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：n的展开式是一个几次几项式）a+b？并预测第三项的系数；（1）多项式（n展开式的各项系数之和． a+b）（2）请你预测一下多项式（n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用a+b（3）结合上述材料，推断出多项式（）含字母n的代数式表示）．5北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BFBE，，∴△BEF为等边三角形；∠∴∠ABE=CBF=30°，∴ AE=BE+BF=BE=EFAE+CF=；∴图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．2．【解答】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△∠∠∴∠1+∠3=2+∠3=AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．6∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．EAF=∠BAD∠．∠EAD=∠DAF+∠EAD=DAF∴∠BAG=∠，AG=AF．∴∠BAG+∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG；∴EF=BE﹣FD．3．【解答】（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，B=30°，∠C=90°，∴②∵∠根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S=S；故答案为：DE∥AC；S=S；2211（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S=S；21（3）如图，过点D作DF∥BE，易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF，111且BE、DF上的高相等，此时S=S；过点D作DF⊥BD，∵∠ABC=60°，FD∥BE，11△BDE△DCF12BD=∠ABC=30°，∠FDB=90°，∴∠FDF=∠D=ABC=60°，∵BF=DF，∠F∠ABC=60°，∴∠FF21122111∴△DFF是等边三角形，∴DF=DF，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，2112DCB=×60°=30°，∴∠CDF=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠∴∠DBC= 1∠CDF=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF=∠CDF，∵在△CDF和△CDF中，21221，∴△CDF≌△CDF（SAS），∴点F也是所求的点，221ABD=×60°=30°， DE是角平分线上一点，∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABC=60∵∠°，点D=， F+F=BFBF=，∴=BF，==2cos304，∴又∵BD=4BE=×÷°÷+21121．或的长为故BF7x）?（2a=x﹣?xx+（2a﹣）S 4．【解答】（1）设AP的长是x，则BP=2a﹣x，∴+S PBD△APC△22 ax+aa，当x=；﹣==x时△﹣﹣APC与△PBD的面积之和取最小值，故答案为：=a APC=60°，的移动而变化，理由：∵△APC是等边三角形，∴PA=PC，∠（2）α的大小不会随点P CPB，BPD，∴∠APD=∠∵△BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠ ACP=120°，QAP+∠QAC+∠APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠∴△°；°﹣120°=60∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180 是等边三角形，的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△APC（3）此时α，APC=∠BPD是等边三角形，∴APC=60°，∵△BDPPB=PD，∠BPD=60°，∴∠∴PA=PC，∠°，QAC+∠ACP=120PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠≌△∴∠APD=∠CPB，∴△APDCPB，∴∠°=60°．∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120∠∴∠QCP+QAC+P ，交AN延长线于点C作CP⊥AC【解答】5．△DEF是等腰三角形；证明：如图，过点 ACP；∠ACB，∠BAD=∠ABCRt△中AB=AC；∴∠BAC=90°，∠ACB=45°∴∠PCN=∵；；∴△BAD≌△ACPCAP∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠∵AM⊥BD；∴∠ABD+ ；CPN≌△CENCE=CPP；∵AD=CE；∴；∵CN=CN；∴△AD=CP∴，∠ADB=∠；∴△DEF是等腰三角形．ADBCEN=∠；∴∠FDE=∠FED∴∠P=∠CEN；∴∠P AM 的延长线于点⊥C作CPAC，交附加题：△DEF为等腰三角形；证明：过点；；∵AM⊥BD°；∴∠BAC=90°，∠ACB=45PCN=∠ACB=∠ECN；∴∠△∵RtABC中AB=AC ；∠AD=CP，∠D=P；∴；∴△°；∴∠∠∴∠ABD+∠BAM=BAM+∠CAP=90ABD=∠CAPBAD ≌△ACP ；∠≌△CPNCEN；∴∠P=E；∴△；又∵，∵AD=ECCE=CPCN=CN 为等腰三角形．；∴△∠∴∠D=EDEF 82）成立．在直线NE上，（EN与MF相等（或EN=MF），点F6．【解答】（1）判断：AB=AC=BC．，∵△ABC是等边三角形，∴和△NF，证明△DBMDFN全等（AAS）连接DF， MDF=60°，°，∠FDN+∠是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60F又∵D，E，，FDN∴∠BDM=∠°，DFN=∠FDB=60DBM≌△DFN，∴BM=FN在△DBM和△DFN，∠中，，∴△，∥BDEF是△ABC的中位线，∴EFBCNF ∥BD，∵E，F分别为边AC，的中点，∴∴．，∴MF=ENF在直线NE上，∵BF=EF ∴ DE，、MF=NE成立）．连接DF（3）如图③，MF与EN相等的结论仍然成立（或DN=DM，NDE=∠FDM，由（2）知DE=DF，∠ MF=NE．≌△DMFDNE和△DMF，∴中，∴△DNE在△；°，，∵∠BPC=120，使至EPE=PC，连接CEAP=BP+PC7．【解答】，（1）证明：延长BP PCE=60°，，∠，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE∴∠CPE=60°，又PE=PC ，PCE+∠BCP∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+BCP=∠，∠∵△ABC为等边三角形，∴AC=BCBCA=60°，∴∠．AP=BP+PC，∵BE=BP+PE，∴AP=BE（，∴△即：∠ACP=∠BCEACP≌△BCESAS），∴，B'CPB'ADBPDABAD2（）证明：在外侧作等边△′，则点在三角形′外，连接，9∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．1的展开式是一次二项式，此时第三项的））∵当1n=1时，多项式（a+b8．【解答】解：（0=，系数为：21=， a+b）的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：时，多项式（当n=23，的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：当n=3时，多项式（a+b）3=4，…的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为： a+b）6=n=4当时，多项式（n n+1项式，第三项的系数为：∴多项式（a+b）；的展开式是一个n次nn；展开式的各项系数之和为：2）预测一下多项式（（2a+b）11，a+b）展开式的各项系数之和为：1+1=2=2n=1（3）∵当时，多项式（22 1+2+1=4=2，时，多项式（当n=2a+b）展开式的各项系数之和为：33当n=3时，多项式（展开式的各项系数之和为：），1+3+3+1=8=2a+b44展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2，…）时，多项式（当n=4a+b nn∴多项式（S=2展开式的各项系数之和：．）a+b10。