例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系() 是对称关系，相等关系(=)？？？ 。



非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
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对称性的关系矩阵和关系图的特点

定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
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一、自反性

定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性

定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
在有对称性的关系中，若有序偶<x,y>，必有序偶<y,x>。 例如：设集合A={1,2,3}有下列关系： 1）R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 是对称关系 2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 不是对称关系
例如：设X={a,b,c}, R1={<a,b>,<b,c>} 是反自反关系。 R2=={<a,a>,<a,b>,<b,c>} 不是反自反关系 不相等关系()，小于关系()，真包含关系()，父子 关系是反自反关系。 非（不是）反自反的 (x)(xA∧<x,x> R)
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具有反自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点
思考：具有自
反性的关系与 恒等关系有何 区别于联系？
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2。 。 3
二、反自反性

定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A 都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即R是A中反自反的(x)(xA<x,x>R) 该定义表明了，一个反自反的关系不应包括有任 何相同元素的序偶。
讨论定义： （1）前件<x,y>R∧<y,x>R为“T”，则x=y为“T”，R是对 称的。 （2）前件为<x,y>R∧<y,x>R为“F”，有三种情况，后件 不论是真还是假，命题为“T”，即R是对称的。
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四、反对称性

定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)

1
0
？ 1
1 ？
1
。
是否有环 对对称性 无影响。
2
。 。 3
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四、反对称性

定义:设R为集合A上的关系，若对任何x, y∈A，有 <x,y>R和<y,x>R，就有x=y，则称R为A中的反对称 关系 。 R是A上反对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧<y,x>R) x=y) (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R∧xy)<y,x>R)
例如：设集合A={1,2,3}有下列关系： 是反对称关系 1）R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>} 2）R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 不是反对称关系
例如：小于等于关系()，包含关系()，上下级关系，父子关 系等是反对称关系。
例 自反
2
1
。
反自反
1
。
自Hale Waihona Puke 12。1
。自反
。 。 3
R1
1
2
。 。 3
R2
1
。 。 。 2。 3 3
R3
1
反自反
2
。
。 。 3
R5
非自反 非反自反
2
。
2
。
非自反 非反自反
R4
1
。反自反
R8
。 。 3
R6
。 。 2。 。 3 3
R7

R1、R3、R4是自反的，R2、R5、 R8均是反自反关系。 注意：任何一个不是自反的关系，未必是反自反的， 任何一个不是反自反的关系，未必是自反的， 如R6、R7非自反，也非反自反。 存在既不是自反的也不是反自反的关系。


定义：设R是集合A上的关系，若对于任意的x∈A 都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即R是A中反自反的(x)(xA<x,x>R) 从关系矩阵看反自反性： 主对角线都为0。

从关系有向图看反自反性： 每个结点都无环。
0 ？ ？ ？ 0 ？ ？ ？ 0 1。
2。
。 3
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关系的性质
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本节将研究关系的一些性质，它们在关系的研究中 起着重要的作用。这是本章最重要的一节。 本节中所讨论的关系都是集合A上的关系。 本节要点： 五个性质： 自反性、反自反性 --自己和自己的关系 对称性、反对称性 –两个元素之间的关系 传递性 --三个元素之间的关系 相关证明
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具有自反性的关系的关系矩阵和关系图的特点


定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 从关系矩阵看自反性： 主对角线都为1。
从关系有向图看自反性： 每个结点都有环。 1 ？ ？ ？ 1 ？ ？ ？ 1 1。