（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式
(A∪B)×(C∪D)=(A×C) ∪(B×D)
是否成立。
答：不成立。 若A=D=Ø，B=C={a}，则 (A∪B)×(C∪D)=B×C={(a,a)} (A×C) ∪(B×D)=Ø×Ø=Ø
有序 n元组
定义3 一个有序n(n≥3) 元组是一个有序二 元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为
笛卡尔积集的性质
性质1．若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积 集是空集，即 Ø ×B=A×Ø =Ø 性质2．当A≠B，且A和B均不是空集时，有 A×B≠B×A 性质3．当A，B，C均不是空集时，有 (A×B) ×C≠A×(B×C)
尚未定义(a,b,c)
((a,b),c)≠(a,(b,c))
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
定义1 a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b 作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元 组叫有序二元组, 简称有序对， 记为:
（a，b）
特点：
(1) 当a≠b时，（a，b）≠（b，a）； (2) 两个有序二元组相等，即（a，b）＝（x，y） 的充分必要条件是 a＝x 且b=y。
笛卡尔积集
定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素 是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素 构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔 积集，记为 A×B 。即
A×B＝{(a,b)│a∊A,b∊B}。
例 A={1,2}， B={a,b,c}, A×B＝{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a),es（1596～1650）
著名的法国哲学家、数学家、物理 学家，解析几何学奠基人之一。在 今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳 曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上 镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以 来，第一个为人类争取并保证理性 权利的人”。 笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学， 都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开 发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代 数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程 表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化 为代数题后能轻而易举地找到答案.