高等数学A试卷答案 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A 》试卷考试说明：1、考试为闭卷，考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1．231sin 53limxx x x -∞→＝ ．2．垂直于直线162=-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程为 ．3．设 ),,(w v u f 为三元可微函数 ，),,(1y y x x yxf z =，则y z∂∂= ．4．幂级数 ∑∞=-1)3(n nn x 的收敛域为 ．5．n 阶方阵A 满足 0323=+-E A A ，(E 为n 阶单位阵 ) ，则1-A ＝ ．姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业： ----------------------------------------------------------------------------------------密封线-------------------------------------------------------------------------------------------------6．口袋中有8个标有数字：1，1，2，2，2，3，3，3 的乒乓球,从中随机地取3个, 则这3个球上的数字之和为6的概率是 ．二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．曲线xx x f 1e ||)(-=的渐近线条数为 ( )．(A )0 (B )1(C )2(D )32．设)(x y y =是由方程0d e 12=-⎰+-xy t t x 所确定的隐函数,则0d d =x xy=( )．(A )1e1- (B )1e1+ (C )1e -(D )1e +3．设L 是以三点)0,0(，)0,3(及)2,3(为顶点的三角形正向边界，则曲线积分⎰-+++-Ly x y x y x d )635(d )42( = ( )．(A )6(B )12 (C )18(D )24４．A 是46⨯矩阵，A 的秩为 2，非齐次方程组 b x =A 有三个线性无关的解 1ξ，2ξ，3ξ ，则方程组0x =A 的通解是( ). (A )332211ξ+ξ+ξk k k(B )3212211)(ξ+-ξ+ξk k k k (C )3222111)(ξ+ξ++ξk k k k(D )3212211)(ξ-+ξ+ξk k k k５． 随机变量ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈∈其它,0 , ,)(]8,5[92]2,1[31x x x f ，若32}{=≤ξa P ，则a ＝( ). (A ) 2.4(B ) 4.5(C ) 5.6(D )6.7６．随机变量 ξ 服从参数为),2(p 的二项分布，随机变量 η 服从参数为),3(p 的二项分布, 且2719}1{=≥ηP , 则}1{≥ξP ＝( ). (A ) 94 (B )95 (C )31(D ) 32三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共８个小题，每小题８分，共6４分）1．试确定常数A 、B 、C 的值,使得))1((ln 222-=-++x o x C Bx Ax ,其中))1((2-x o 是当 1→x 时比 2)1(-x 高阶的无穷小 ．2．计算 ⎰--++21212d 11ln )sin (x xxx x ．3．求由曲面 22y x z += 和 222y x z +-= 所围成的立体的表面积 ．4．设)(x f y =为连续函数, 且满足⎰⋅+=xxx x y y 02d e e ，求)(x f y =的表达式．５．计算四阶行列式 xx x x D ++++=11111111111111114 ．-------------------------６．矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010011A 满足方程 X A X A 2*1-=-，其中 *A 为 A 的伴随矩阵 ，求矩阵X ．７.二维离散型随机变量 ),(ηξ 的概率分布为：1.0}0{==η=ξP ，b P ==η=ξ}1,0{,a P ==η=ξ}0,1{，4.0}1{==η=ξP ．已知随机事件}1{=η+ξ 与事件}1{=η 相互独立 ，求：(1)b a ,的值 ；(2))(ξE ．8．已知二维随机变量),(ηξ的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它,010,20 ,)2(),(41y x y x y x f ， (1) 判断ξ和η的独立性，并说明理由； (2) 求概率}1|21{=ξ>ηP ．四．应用题：（本题共3个小题，每小题９分， 共2７分）1．设 ABC ∆ 的三边长分别是 a 、b 、c ，面积为 S ．现从 ABC ∆ 的内部一点 P 向三边作三条垂线，求此三条垂线长的乘积的最大值．２．三阶实对称阵A 有三个特征值：1，1-，2-；其中特征值1 ，2- 对应的特征向量分别为 T )1,0,1(，T )1,0,1(-，求4A ．３．某甲驾车从A 地通过高速公路到 B 地 ，在 A 地的高速入口处的等待时间ξ (单位：分) 为一随机变量，其概率密度是：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00 ,e )(10101x x x f x．若甲在 A 地高速入口处的等待时间超过10分钟时，则返回不再去B 地．现甲到达高速入口处已有4次， 以 η 表示到达 B 地的次数 . 求 η 的分布律 .五．证明题： （本题共2个小题，第一小题６分，第二小题５分，共1１分）1．设 )(x f 在 ]2,1[ 上连续 ，在 )2,1( 内可导 ，且 0)2()1(==f f ．试证：至少存一点 )2,1(∈ξ，使得 )(2007)(ξ'=ξξf f ．_准考证号：______________________报考学校 报考专业：---------------------------------------------------密封线--------------------------------------------------------------------------２．试证: 若 n 维向量组 k α-α1,k α-α2, ,k k α-α-1,k α 线性无关 ，则向量组 1α,2α, ,k α 也线性无关 ．2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A 》参考答案一、填空题(每小题4分,共24分) 1. 3; 2. 063=++y x ;3.321212ln ln f yx x xf x f y x yy-+-; 4. )4,2[；5.;23132A E - 6.5619. 二、单项选择题每小题4分,共24分) 1. D ; 2. C ; 3. B ; 4. B ; 5. C 6. B . 三、计算题(每小题8分,共64分)1. 解 由0)ln (lim 221=-++→x C Bx Ax x 得 0=++C B A , (1) (2)分 又)1(21ln 22lim)1(ln lim012221-⋅-+=--++=→→x x x B Ax x xC Bx Ax x x∴021ln 22lim 1=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+→B A x x B Ax x , (2) ……… 5分又0=)1(21ln 22lim )1(ln lim 12221-⋅-+=--++→→x x x B Ax x x C Bx Ax x x =11ln 1lim21-=--→A x x A x , (3) ……… 7分 由(1)、(2)、(3)解得：1=A ，2-=B ，1=C ．………………………………… 8分 ２. 解 原式=⎰--+2121d 11lnx xxx +⎰--+21212d 11ln sin x xxx =⎰+-+2100d 11ln2x x x x =⎰-+2102)d(11ln x x x………………… 4分 =⎰-++-⋅+-⋅--+21022212d )1()1()1(1111lnx x x x x x x xx x=⎰--21022d 123ln 41x x x =⎰--+2102d )111(23ln 41x x ………… 6分 =⎪⎭⎫⎝⎛-+-+2111ln 2123ln 41x x =3ln 431-.…………………… 8分3. 解 曲面22y x z +=和222y x z +-=所围几何体在xOy 平面上的投影区域为D ：122≤+y x ． ………………………………………………………… 2分 记几何体在22y x z +=上的表面积为1S ，则1S ＝⎰⎰++Dy x y x d d )2()2(122＝⎰⎰++Dy x y x d d )(4122 ………4分⎰⎰π+θ202d 41d r r r 极坐标＝⎰++⋅π122)4d(141812r r＝10232)41(324r +⋅π＝π-)155(61． ……………………………6分 记几何体在222y x z +-=上的表面积为2S ，则 1S ＝⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+Dy x y x y y x x d d 1222222 ＝⎰⎰Dy x d d 2＝π2． …………………………………………7分∴π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=2)155(6121S S S ． ………………………………8分4. 解 方程两边对x 求导，得202e d ee y x y y x x xx ++='⎰………………………2分整理得 2e y y y x =-'. ………………………………………………3分令yz 1=，则上式化为x z z e -=+'． ……………………………………………4分所以 z =[]⎰+-⎰-C x x xd )e (e d =()⎰+--C x x x d e e 2=⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x 2e 21e =x x C e 21e --. ……………………………6分∴xxx x C C x f y 2e2e 2e 21e 1)(-=-==-. 由题知1)0(=f ,由此得23=C .故xxx f 2e 3e 2)(-=. ……………………………………… 8分5. 解 4D =xx x x ++++1111111111111111)4( …………………………… 5分=3)4(x x + ………………………………………………… 8分6. 解: 11-*-=⇒-=A A A ……………………………………………… 2分 ⇒ E X E A =-)2( ………………………………………… 4分⇒11300010011)2(--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=E A X ……………………… 6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=10003003331 …………………… 8分 7. 解: 事件}1{}1{})1{}1({=η⋅=η+ξ==η⋂=η+ξP P P )4.0)((b b a b ++=⇒ ………………………………………………3分又由 15.0=++b a 4.0,1.0==⇒b a …………………………………5分 0∴5.0)(=ξE ……………………………………………………………… 8分8. 解: ,0)1,0( ,1)(⎩⎨⎧∈=ξ其它x x f ,,0),0( ,1)|(|⎪⎩⎪⎨⎧∈=ξη其它x y x x y f …… 2分⇒)(),(),(x f y x f ξηξ=⎪⎩⎪⎨⎧<<<=ξη其它,0 10 ,1)|(|x y xx y f …………5分 ∴⎩⎨⎧<<-==⎰+∞∞-η其它 ,010 ,ln d ),()(y y x y x f y f …………………………8分四、应用题(每小题9分,共27分)1. 解 设从P 向边a ,b ,c 所作的垂线长分别为x ,y ,z ,则令xyz z y x f =),,(. ……………………………………………… 2分 由题设知S cz by ax 2=++,故令)2(),,,(S cz by ax xyz z y x L -++λ+=λ. ……………………4分由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==λ+==λ+==λ+=λ02000S cz by ax L c xy L b xz L a yz L z yx ……………………………………………7分解得惟一驻点a S x 32=,bS y 32=,c Sz 32=. …………………………………8分 由问题的实际意义知f 有最大值,故当P 到长为a ,b ,c 的边的距离分别为aSx 32=,bS y 32=,c Sz 32=时,三垂线长的乘积最大,最大值为abcS 2783. ………………9分 2. 解: 设1-=λ对应的特征向量为:T x x x ),,(321,由实对称阵不同的特征值对应的特征向量正交0,1,0321===⇒x x x . ……………………………………………………3分 ⇒4A =14011100011121011100011-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ………………………5分=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010*********11161011100011 ………………………… 7分=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--170150201501721 …………………………………………………… 9分 3. 解: η服从参数为),4(p 的二项分布, …………………………………………3分其中11010e 1d e 101}10{---==≤ξ=⎰x P p x………………………………………… 7分∴η的分布律是:4,3,2,1,0 ,e )e 1(}{)4(14=-==η---k C k P k k k……9分 ……………………… 8分五、证明题(第一小题6分,第二小题5分)1. 证 设)()(20071x f xx F -=,则)(x F 在]2,1[上连续,在)2,1(内可导,且 0)2()1(==F F . ………………………………3分对)(x F 在]2,1[上应用罗尔定理得:)2,1(∈ξ∃,使0)(=ξ'F ,即0)()(200712007120072008=ξ'ξ+ξξ---f f , 即 )(2007)(ξ'=ξξf f . ……………………………………………………6分 2. 证: 设0112211=α+α++α+α--k k k k c c c c ,⇒0)()()()(11112211=α++++α-α++α-α+α-α---k k k k k k k k c c c c c c ……4分由k k k k k ααααααα,,,,121---- 的线性无关性⇒====⇒021k c c c 结论成立. ……………………………………………… 5分。