不定方程及不定方程组的解法
华图教育任小芳
在公务员行政职业能力测试数量关系模块中，经常会运用到方程法解答各类文字应用题型，但是在运用方程法的过程中，常会遇到所设的未知数数量多于方程个数的情况。

未知数数量多于方程数量，这种方程我们称之为“不定方程（组）”。

解不定方程（组）最典型的方法为代入排除法，即直接将选项代入方程中，验证是否能使其他未知数都有符合题目要求的解。

【例1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。

为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）？
A.1辆
B.3辆
C.2辆
D.4辆
【答案】：B
【解析】：每位游客均有座位且车上没有空座位，可知座位总数与游客人数相等。

假设需要大客车x辆，需要小客车y辆，根据题意列出方程：37x+20y=271。

未知数个数多于方程个数，此为不定方程问题。

20的倍数尾数一定为0，则37x的尾数应为1，代入四个选项，只有当x=3时，37x 的尾数为1，B选项正确。

【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装 5个苹果共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个？（）
A.3
B.4
C.7
D.13
【答案】：D
【解析】：假设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个，根据题意可列出方程：12x+5y=99。

题干中只有一个等量关系，2个未知数，1个方程，此为不定方程问题。

结合数字的奇偶特性，偶数的倍数一定是偶数，可知12x为偶数。

两个数的和99为奇数，这两个数的奇偶性一定相反，因此5y的值一定为奇数。

5的倍数尾数不是0就是5，因此可以确定5y尾数为5,12x尾数为9-5=4。

由此推出x=2,y=15。

或者x=7,y=3。

题目条件“共用了10多个盒子”，x=7,y=3不符合题意，结果为x=2,y=15,差是13。

D选项正确。

在解不定方程时可结合数字的奇偶特性、尾数特性等数字特性思想，然后通过代入选项得出答案。

当题目要求的是所有未知数的和时，可用设“0”法简化计算。

【例3】小刚买了3支钢笔、1个笔记本、2瓶墨水，花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔、1个笔记本、3瓶墨水花去52元，则买1支钢笔、1个笔记本、1瓶墨水共需（）元。

A.9
B.12
C.15
D.18
【答案】：D
【解析】：假设钢笔、笔记本、墨水的单价分别为x、y、z元，根据题意列出方程组：
3x+y+2z=35,
5x+y+3z=52.
不定方程组问题。

最后所求为x+y+z的和，因此可以设其中一个未知数的值为0，不影响最后的总和大小。

假设x=0,则 y+2z=35，
y+3z=52。

解得y=1,z=17。

x+y+z=0+1+17=18。

D选项正确。

运用设“0”法的前提是所要求的结果是所有未知数之和，假设其中一个未知数为0时不会影响所有未知数之和的大小。

当题目要求其中一个未知数大小时，则不可通过设“0”简化计算。

华图教育任小芳。