矩阵论

1、意义

随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．

2、内容

《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：

线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．

矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．

3、方法

在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：

线性代数：引入概念直观，着重计算．

矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将

来正确处理实际问题有很大的作用．

第1讲 线性空间

内容： 1.线性空间的概念；

2.基变换和坐标变换；

3.子空间和维数定理；

4.线性空间的同构

线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．

§1 线性空间的概念

1. 群，环，域

代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．

代数运算：假定对于集A中的任意元素a和集B中的任意元素b，按某一法则和集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．

代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．

1.1群

定义1.1 设V是一个非空集合，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V中给定的一个法则，对于V中任意元素,，在V中都有惟一的一个元和他们对应，称为,的和，记为．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V为一个群．

1）V在“+”下是封闭的．即，若,,V有 V；

2) V在“+”下是可结合的．即，)()( ，V；

3）在V中有一个元e，若,V有 ee；e称为单位元；

4）对于,V有 e．称为的逆元．

注：对V任意元素,，都有，则称V为交换群或阿贝尔群．

1.2 环

定义1.2 设V是一个非空集合，在集合V的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“”．即，对V中给定的一个法则，对于V中任意元素,，在V中都有惟一的一个元和他们对应，称为,的和和积，记为（）．满足下列三个条件，则称V为一个环．

1）V在“+”下是阿贝尔群；

2) V在“”下是可结合的．即，)()(；

3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V中任意元素，，，有

**)(*，)(．

注：对V任意元素,，都有，则称V为交换环．

1.3 域

定义1.3 设V满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V为域．

例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q、实数域R、复数域C．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．

此外，还有其它很多数域.如.,2)2(QbabaQ，不难验证，)2(Q

对实数四则运算封闭的，所以)2(Q也是一个数域.而整数集合Z就不是数域.

数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．

2. 线性空间

定义1.4 设V是一个非空集合，P是一个数域．在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V中任意元素,，在V中都有惟一的一个元和他们对应，称为,的和，记为．在数域P和集合V的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“”：即，对于数域P中任一数k和V中任一元，在V中都有惟一的一个元和它们对应，称为k和的数乘，记为k．如果加法和数乘这两种运算在V中是封闭的，且满足如下八条规则：

⑴ 交换律；

⑵ 结合律)()( ，V；

⑶ VV0,，有0，（0称为零元素）；

⑷ VV,，有 0，（称为的负元素，记为）；

⑸ PV1,，有 1；

⑹ )()(kllk，Plk,；

⑺ lklk)(；

⑻ kkk)(，

则称集合V为数域P上的线性空间.当数域P为实数域时，V就称为实线性空间；P为复数域，V就称为复线性空间．

例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n维向量组成的集合，在实数域R上构成一个实线性空间，记为nR；由全体复n维向量组成的集合，在复数域C上构成—个复线性空间，记为nC．

例2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P上的元素构成的全体nm矩阵所成的集合，在数域P上构成一个线性空间，记为nmP．而其中秩为)0(rr的全体矩阵所成的集合rR则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵rRO）．

例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间ba,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间baC,．

例4. 设R＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xyyx,

kxxk。证明：R是实数域R上的线性空间．

证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0x,0ykR，则有：xyyxR，kkxxoR， 封闭性得证．

其次，八条性质。

（1）)()()()(zyxzxyyzxzyx

（2） xyyxxyyx

（3） 1是零元素．xx1

（4） 1x是x的负元素 111xxxx

（5） )()()()(ykxkyxxyyxkkkk [数因子分配律]

（6） )()()(xlxkxxlklk [分配律]

（7） xklxxxlkklkl)()()( [结合律]

（8） xxx11 [恒等律]

由此可证，R是实数域R上的线性空间． 证毕

3.线性空间的基本性质：

（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的．

（2） 如下恒等式成立： x0，)()1(xx．

4.线性组合和线性表示，线性相关和线性无关性，维数

定义1.5 线性组合：,,,,21VxxxmPcccm,,,21,

xxcxcxcxcmiiimm12211，

x称为元素组mxxx,,,21的一个线性组合．

定义1.6 线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示．

定义1.7 设V是数域P上的线性空间，nxxx,,,21是V的一组向量，如果P中有一组不全为零的数nkkk,,,21，使得

02211nnxkxkxk (1.1)

则称向量nxxx,,,21线性相关；若等式(1.1)仅当021nkkk时才能成立，则称这组向量是线性无关的．线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为Vdim．

§2 基变换和坐标变换

1．线性空间的基和坐标

定义2.1 设V是数域P上的线性空间, )1(,,,21rxxxr，是属于V的r个任意元素，如果它满足

（1）rxxx,,,21线性无关；

（2）V中任一向量x均可由rxxx,,,21线性表示．

则称rxxx,,,21为V的一个基或基底，并称rxxx,,,21为该基的基元素．

基正是V中最大线性无关元素组, V的维数正是基中所含元素的个数．基通常是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等．线性空间的维数是确定的，不会因选取不同的基而改变．

例1:考虑全体复数所形成的集合C．如果CP（复数域），则该集合对复数加法和复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取RP（实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为},1{i，空间维数为2．

定义2.2 称线性空间nV的一个基nxxx,,,21为nV的一个坐标系，nVx，它在该基下的线性表示为：

niiixx1，（niVxPii,,2,1,, ）

则称n,,,21为x在该坐标系中的坐标或分量，记为Tn),,,(21.

一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质．但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来．

更进一步，原本抽象的“加法”及“数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘．

1 ),,,(),,,(),,,(22112121nnTnTnyxyx

2 TnTnkkkkxx),,,(),,,(2121

2.基变换和坐标变换

定义2.3 设nxxx,,,21是nV的旧基，nyyy,,,21是nV的新基，它们可以相互线性表示

即 Cxxxcccccccccxxxyyynnnnnnnnn,,,,,,,,,212122221112112121 （1.2）

其中C称为由旧基改变为新基的过渡矩阵，而称式（1.2）为基变换公式．可以证明，过渡矩阵C是非奇异矩阵．

设nVx，它在旧基下的线性表示为nnniiixxxxx21211,,,，它在新基下的线性表示为nnniiiyyyyx21211,,,，由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系

nnnnxxxyyy21212121,,,,,, ,