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4.已知直线 l 的极坐标方程为 坐标为
解 由
A2
π 2ρsinθ－4＝
2，点 A 的极
A2
7π 2， 4 ，求点 A 到直线 l 的距离.
2，得
2ρ 2 2 ＝ 2， 2 sin θ－ 2 cos θ
π 2ρsinθ－4＝
y tan θ＝x(x≠0)
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4.圆的极坐标方程
曲线 圆心在极点，半径 为 r 的圆 圆心为(r，0)，半径 为 r 的圆
π 圆心为r，2，半径
图形
极坐标方程
ρ＝r(0≤θ＜2π) ______________ ρ＝2rcos θ __________
π π － ≤θ≤ 2 2
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考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 【例1 】 将圆x2 ＋ y2 ＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的
(3)直线过
π Mb，2且平行于极轴，则直线
l 的极坐标方程
ρsin θ＝b _. 为_________
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诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系， 在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )
(2)若点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的一个极坐标
• 第1讲
坐标系
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最新考纲
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩
变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，
会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直
角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标 方程.
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知识梳理
Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 (ρ，θ)称为
极角 点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的_____. 3.极坐标与直角坐标的互化
点 M 直角坐标(x，y) 互化 公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
极坐标(ρ，θ)
x2 ＋y2 ρ2＝________
2.极坐标系与点的极坐标
(1) 极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O( 极点) ；自极 点 O引一条射线 Ox( 极轴 ) ；再选定一个长度单位，一个角度单 逆时针 方向)，这样就建立 位(通常取弧度)及其正方向(通常取_______ 了一个极坐标系.
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(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从
1 π B.ρ＝ ，0≤θ≤ 4 cos θ＋sin θ π C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤2 π D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 4
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解析
∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
π 1 0≤θ≤ . ∴ρ＝ 2 sin θ＋cos θ
∴y－x＝1. 7π 2， ，得点 A 的直角坐标为(2，－2). 由 4 |2＋2＋1| 5 2 ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ＝ . 2 2
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5.(2015· 江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2 ＝0，求圆 C 的半径.
解
2
π 2ρ· sinθ－4－4
中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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解
(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为
曲线 C 上点(x，y)，
x＝x1， 依题意，得 y＝2y1，
由
2 x2 ＋ y 1 1＝1
得x
2
y 2 ＋2 ＝1，
2 y 故曲线 C 的方程为 x2＋ 4 ＝1.
π 是2，－3.(
) ) )
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( (4)极坐标方程 θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( A.ρ＝ 1 π ，0≤θ≤2 cos θ＋sin θ )
ρ＝2rsin θ __________
(0≤θ＜π)
为 r 的圆
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5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 α，则直线 l 的
θ＝α (ρ∈R). 极坐标方程是______
(2)直线 l 过点 M(a，0)且垂直于极轴，则直线 l 的极坐标
ρcos θ＝a 方程为__________.
答案 A
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3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则 曲线C的直角坐标方程为________. 解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐
标方程为x2＋y2－2y＝0.
答案 x2＋y2－2y＝0
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
λx （λ＞0）， x′＝____ φ ： 的作用下，点 μy y′＝____（μ＞0）
P(x，y)对应到
点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换.
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以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴
为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程化为 ρ ＋2
2
2ρ
2 2 sin θ－ cos θ－4＝0， 2 2
化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＝6，因此圆 C 的半径为 6.