−12 F/m ε = 8.85 × 10 真空中的介电常数 0
库仑定律是基本试验定律，准确性达10-9。
上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
2. 电场强度 ( Electric Intensity ) ① 电场强度的定义 电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F
E ( x, y, z ) =
lim
静电场 静电荷
相对观察者静止且量值不随时间 变化的电荷
返 回
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
1.1
电场强度
Electric Field Intensity
研究一个矢量场，首先必须研究场的基本物理 量，对于电场来说就是电场强度。 1. 电荷和电荷密度 电荷
+ -
满足电荷守恒定律
e = 1.602 × 10 − 19 C 18 1C = 6 .24 × 10 e
⋅
r − r'
r − r'
3
× (r − r ' ) = −3
r − r' r − r'
3
× (r − r ' ) = 0
∇ × E (r ) ≡ 0
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
注意
① 矢量的旋度仍为一矢量，在直角坐标系中其表 达式为：
ex e y ez ∂ ∂ ∂ ∇×E = ∂x ∂y ∂z Ex Ey Ez ∂E y ∂Ez ∂Ex =( − )e x + ( ∂y ∂z ∂z
'
面积dS’内的元电荷 d q = σ d S ′ 面积S’内的总电荷
q =
∫ σdS ′
S′
③ 线电荷密度τ 连续分布在一个忽略面积的线形区域l’上的电荷 Δq dq ' τ ( r ) = lim = ' Δl → 0 Δ l dl '
'
第 二 章
恒定电场
dl’内的元电荷 曲线l’内的总电荷 ④ 点电荷
⇒
⇒
0
第 二 章
恒定电场
存在的问题： z 矢量积分的繁复； z 介质和导体上的电荷分布往往未知。 为了求出任意情况时的电场分布，必须研究静 电场的性质，得出静电场的基本规律和方程。
返 回
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
1.2
静电场的守恒性及电位
1. 静电场的守恒性 静电场中，试验电荷qt沿某一路径移动一个距 离dl， 电场E对qt所做的功为：
ρ
z2 + ρ 2
返 回
dE
上 页 下 页
第 二 章
L2
恒定电场
τ 1 1 ( 2 ) − 2 dz = Ez = ∫−L 2 2 4πεo L2 + ρ 2 4πεo (z + ρ ) L1 + ρ 2
1 3 2
τz
τ L2 L1 ( 2 ) + 2 Eρ = ∫−L dz = 2 2 4πεoρ L2 + ρ2 L1 + ρ2 4πεo (z + ρ )
旋度描述了矢量的各分量 在垂直该分量方向上的变 化情况。
∂E y ∂Ez ∂Ex − − )e y + ( )ez ∂x ∂x ∂y
返 回
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
② 根据静电场是无旋场，可以检验一个矢量场是 否为静电场。 例 解 试判断矢量A能否表示静电场？ A = 3 xe x + 4 ye y + 5 ze z
例
真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线 密度为τ ,试求P 点的电场。 解 轴对称场，取圆柱坐标系。
dE ( z , ρ ) =
τd z
2
4 πε o ( z + ρ )
2
d E z = − d E cos θ
带电长直导线的电场
d E ρ = d E sin θ
dE ρ =
dE z =
−z d E z2 + ρ 2
∇ × E = 0 , 矢量恒等式 ∇ × ∇ϕ = 0
∴E = −∇ φ
电位函数
负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 2) 电位 ϕ 的物理意义
W = qt ∫ E ⋅ dl
A B
返 回
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
B
W = qt ∫ E ⋅ dl
W = qt
B
∫E
A
B
A
⋅ dl = − ∫ ∇ φ ⋅ dl
1 = 4 πε 0
∑
N
k =1
q k ( r − rk′ ) 3 r − rk′
矢量叠加原理
连续分布电荷产生的电场强度
dq E p ( R) = ∫ e V/m 2 R 4 πε 0 R
第 二 章
恒定电场
元电荷产生的电场
dq dE = e 2 R 4 πε 0 R
d q = ρ d V，σ d S ，τ d l
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
注意
① 电场的旋度为零是引入电位函数的依据。电位 与电场强度的关系满足：
微分关系 ： E = −∇ ϕ
积分关系 ： ϕ AB = ∫ E ⋅ d l
A B
矢量场表示 成标量场
② 场中两点间的电压是唯一确定的，但场一定时 某点的电位值是不确定的。
E = −∇ ϕ
返 回 上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
注意
电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能 选取一个参考点。工程中取大地为电位参考点， 当电荷在有限区域时，一般取无穷远为电位参考 点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
返 回
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
3) 电位 ϕ 的计算 点电荷产生的电位：
返 回
A
上 页
下 页
第 二 章
恒定电场
E ⋅ d l = 0 ∫l
守恒定律or 环路定律
表明 ① 对任意分布的电荷上式都成立
② 上式反映了静电场的基本性质：守恒性 ③ 静电场是无旋场 由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
∫E
l
⋅ dl =
∫ (∇
s
× E ) ⋅ dS ≡ 0
静电场是 无旋场
返 回 上 页 下 页
∇ × E (r ) ≡ 0
第 二 章
恒定电场
从点电荷电场证明： 点电荷电场 取旋度 矢量恒等式
∇×
∇
E (r ) =
q
r − r' r − r'
1
3
4 πε 0 r − r ' 3 r − r' q ∇ × E (r ) = ∇× 3 4 πε 0 r − r' ∇ × CF = C∇ × F + ∇C × F 0 1 1 = ∇ × (r − r ' ) + ∇ × (r − r ' ) 3 3 r − r' r − r'
一般表达式为：
点电荷的电场
q r − r' E p (r ) = 2 ⋅ 4πε 0 r − r ' r − r ' q = 3 (r − r ') 4 πε 0 r − r '
第 二 章
恒定电场
n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
E ( r ) = E1 + E 2 + L + E n N qk 1 = ∑ 2 ek 4 π ε 0 k =1 R k
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
① 体电荷密度ρ 连续分布在一个体积V内的电荷
Δq dq = ρ ( r ) = lim ' ' ΔV → 0 Δ V dV
'
'
体积dV’内的元电荷
dq = ρdV ′
体电荷的电场
体积V’内的总电荷
q =
∫ ρ dV ′
V′
第 二 章
恒定电场
② 面电荷密度σ 连续分布在一个忽略厚度的面积S’上的电荷 Δq dq ' σ ( r ) = lim = ' ΔS → 0 Δ S dS '
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
例
计算电偶极子的电场 ( r>>d ) 。 解 在球坐标系中 1 1 q q r2 − r1 ϕp = ( − )= 4πε 0 r1 r2 4πε 0 r1r2
d r2 ≈ r + cos θ 2
电偶极子
因r>>d，得 d r1 ≈ r − cos θ 2
ex ∂ ∇× A= ∂x Ax
ey ∂ ∂y Ay
ez ∂ ∂z Az
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az ∂Az ∂Ay )ex + ( − )e y + ( − )ez = 0 =( − ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
③ 根据静电场是无旋场，可以引入电位函数表征 静电场 2. 电位及电位梯度 1) 电位 ϕ 和电位梯度 由
L2
1 3 2
τρ
当 L = L1 + L 2 → ∞ 时 ,
τ eρ E (ρ ,φ , z) = E ρ eρ + E ze z = 2 πε 0 ρ
0
无限长直导线产生的电场
τ Ε= eρ 2πε 0 ρ
返 回 上 页 下 页
第 二 章
恒定电场
第 二 章
恒定电场