Newmark－β法 线性加速度法： t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： t时间间隔内加速度为常数假定
Wilson－θ法
3.线性加速度法
假定t时间间隔内加速度线性变化
在 ti 至ti t 间间隔内t时刻的加速度为
&x&t
&x&ti
&x& i t
t
ti
对(4)式积分求t时刻的速度：
t &x& ti
f s 斜率k(t)
fs (t t)
fs (t)
x fs
dfs x dx
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t)
x(t) x(t t)
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) P(t) ----增量方程(3)
方程左边的力增量表达式是近似的！
非线性地震反应分析的逐步积分法
2
t
2
&x& i 6t
t
3
位移增量为：
xi
x ti
t x ti
x&ti
t
&x&ti
2
t 2
&x& i 6
t 2
（7）
t时刻的加速度：
&x&t
&x&ti
&x& i t
t
ti
（4）
t时刻的速度：
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（5）
对(5)式积分求t时刻的位移：
x t x ti x&ti t
d
t
ti &x&ti
d
t
ti
&x&i
t
ti
d
x&
t ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
ti 2
t ti
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x&i
2t
t
ti
2
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（4）
&x&t
&x&i ti t ti t
（5）
t时刻的加速度：
&x&t
令 &x&t &x&t t &x&t x&t x&t t x&t
{x t } {x(t t)}{x(t)} P(t) P(t t) P(t)
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]&x&(t t) &x&(t) [M ]&x&(t)
fD (t) fD (t t) fD (t) [C(t)]x&(t) ct dfD
&x&ti
&x& i t
t
ti
（4）
t时刻的速度：
x&t
x&ti
&x&ti
t
ti
&x& i 2t
t
ti
2
（5）
对(5)式积分求t时刻的位移：
x t x ti x&ti t
ti
&x&ti
2
t
ti 2
&x&
i
6t
t ti 3
（6）
ti t 时刻的位移向量为：
x
ti
t
x
ti
x&ti
t
&x&ti
ti
&x&ti
2
t
ti 2
&x&
i
6t
t ti 3
（6）
ti t 时刻的速度向量为：
x&ti
t
x&ti
&x&ti
t
&x& i 2t
t
2
速度增量为：
x&i
x&ti
t x&ti
&x&ti
t
&x& i 2
t
（8）
位移增量为：
x i
x ti
t
x
ti
x&ti
t
&x&ti
2
t 2
&x&i
6
t
dx&
fD
fD (t t)
fD (t)
斜率c(t )
x& f D
dfD x& dx&
x&(t)
x&(t) x&(t t)
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
fI (t) fI (t t) fI (t) [M ]&x&(t t) &x&(t) [M ]&x&(t)
（1） 总平衡方程
从而可以得出ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
x
ti
t
x
ti
x i
x&ti
t
x&ti
x& i
3 t
x& i
2x&ti
t 2
&x&ti
&x&ti t M 1 P ti t fD ti t fs ti t
3&x&ti
从而可以得出ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
x
ti
t
x
ti
x i
x&ti
t
x&ti
x&i
3 t
x&i
2x&ti
t 2
&x&ti
&x&ti t M 1 P ti t fD ti t fs ti t
（11）
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
（9） （10）
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) P(t) ----增量方程(3)
[M
]
6
t 2
x i
6 t
x&ti
3&x&ti
[C
(ti
)]
3 t
x i
3x&ti
t 2
&x&ti
[
K
(ti
)]x i
P(ti )
[M ]
6
1
4
t 2
444
3 [C(ti )] t [K (ti )] 44 2 4 4 4 4 4 43
时程分析法
1.运动方程
[M ]&x&(t) [C(t)]x&(t) [K(t)]x(t) [M ]1 &x&g
fI (t) fD (t) fs (t) P(t)
线性问题：[C], [K] 为常数矩阵
fs
fD
fs / x k tg
fD / x& c tg
非线性问题：[C], [K] 为时变矩阵
x i
P(ti
144
)
4
[M 44
]4
6 4t
x&ti
44
4
4
34&x&4t2i 4
4
[C 4
(ti 4
)4]
3x&
44
ti 4
4424t 4&x&4ti
3
K*
P*
等效刚度→ K* tx P* t ←等效荷载
x&i
3 t
xi
3x&ti
t 2
&x&ti
&x& i
6
t 2
x i
6 t
x&ti
ห้องสมุดไป่ตู้
2
速度增量为：
x& i
x&ti
t x&ti
&x&ti
t
&x& i 2
t
在分析中，将x作为基本变量，由式(7)得
（7） （8）
&x& i
6
t 2
x i
6 t
x&ti
3&x&ti
将(9)式代入(8)得
x& i
3 t
x i
3x&ti
t 2
&x&ti
将(9)和(10)代入增量方程(3)解得位移增量xi
fD (t) fD (t t) fD (t) [C(t)]x&(t)
c
t
dfD dx&t
fs (t) fs (t t) fs (t)
[K (t)]x(t)
k
t
dfs dx
t
fD
fD (t t)
fD (t)
斜率c(t )
x& f D