类似地：通过动量微分方程可得：
Re1 Re2
能量微分方程：
贝克来数
ul ul a a
Pe1 Pe2
Pe Pr Re Pr1 Pr2
对自然对流的微分方程进行相应的分析， 可得到一个新的无量纲数——格拉晓夫数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Gr
gtl 3 2
式中： —— 流体的体积膨胀系数 K-1
Gr —— 表征流体浮生力与粘性力的比值
t y y0
现象2：
h t 0
t y y0
与现象有关的各物理力量场应分别相似，
即：
h h
Ch
C
t t
Ct
y y
Cy
相似倍数间的关系： ChCy h t 0
C
t y y0
ChCy 1
C
获得无量纲量及其关系：
ChCy 1 C
hy hy
Nu1 Nu2
上式证明了“同名特征数对应相等”的物理 现象相似的特性
d1 0
1
hua1 d b1 c1 d1
hu0d11 0
hd
Nu
同理：
2
ud
ud
Re
3
cp
a
Pr
于是有： Nu f (Re, Pr)
单相、强 制对流
强制对流:
Nu f (Re, Pr)； Nu x f (x', Re, Pr)
同理，对于其他情况： 自然对流换热：
Nu f (Gr, Pr)
M 1T 31 La1T a1 Lb1 M c1 Lc1T 3c1 c1 M d1 Ld1T d1 M 1c1d1T 3a13c1d1 1c1 La1b1c1d1
1 c1 d1 0
a1 0
3 1
a1 c1
3c1 0
d1
0
bc11
1 1
a1 b1 c1 d1 0
③两种现象相似是实验关联式可以推广应用 的条件
（4）获得相似准则数的方法： 相似分析法和量纲分析法
1)相似分析法：在已知物理现象数学描述的 基础上，建立两现象之间的一些列比例系 数，尺寸相似倍数，并导出这些相似系数 之间的关系，从而获得无量纲量。
以图5-13的对流换热为例，
数学描述：
现象1：
h t 0
c 例题：以圆管内单相强制对流换热为例
(a)确定相关的物理量
h f (u, d,,, ,cp ) n 7
(b)确定基本量纲 r
h
:
s
kg 3K
u: m s
d :m
:
W mK
kg m s3 K
: Pa s kg
ms
: kg
m3
J
m2
cp : kg K s2 K
国际单位制中的7个基本量：
（2）相似准则之间的关系
①各特征数之间存在着函数关系，如常物 性流体外略平板对流换热特征数：
Nu f (Re, Pr)
②整理实验数据时，即按准则方程式的内 容进行。这就解决了实验数据如何整理 的问题
（3）判别现象相似的条件
①单值性条件相似：初始条件、边界条件、 几何条件、物理条件
②同名的已定特征数相等
(2) 量纲分析法：在已知相关物理量的前 提下，采用量纲分析获得无量纲量。
a 基本依据： 定理，即一个表示n个物理 量间关系的量纲一致的方程式，一定可以转 换为包含 n - r 个独立的无量纲物理量群间 的关系。r 指基本量纲的数目。
b 优点: (a)方法简单； (b) 在不知道微分方程的情况下，仍然可以 获得无量纲量
长度[m]，质量[kg]，时间[s]，电流[A]， 温度[K]，物质的量[mol]，发光强度[cd]
因此，上面涉及了4个基本量纲： 时间[T]，长度[L]，质量[M]，温度[] r=4
n 7 : h,u, d , ,, , c p
r 4 :[T],[L],[M],[]
n – r = 3，即应该有三个无量纲量，因 此，我们必须选定4个基本物理量，以与
2020高中物理竞赛 第五章
对流换热
§5-5 相似原理及量纲分析
通过实验求取对流换热的实用关联式，仍然是 传热研究中的一个重要而可靠的手段。然而，对 于存在着许多影响因素的复杂物理现象，要找出
众多变量间的函数关系，比如 h f u,l, ,, , c p
，实验的次数十分庞大。为了大大减少实验次数， 而且又可得出具有一定通用性的结果，必须在相 似原理的指导下进行实验。
混合对流换热：
Nu f (Re, Gr, Pr)
Nu — 待定特征数 （含有待求的 h）
Re，Pr，Gr — 已定特征数 按上述关联式整理实验数据，得到实用关 联式解决了实验中实验数据如何整理的问 题
其它量组成三个无量纲量。我们选u,d,, 为基本物理量
(c)组成三个无量纲量
1 hu a1 d b1 c1 d1 2 u a2 d b2 c2 d2 3 c pu a3 d b3 c3 d3
(d)求解待定指数，以1 为例
1 hu a1 d b1 c1 d1
1 hua1 d b1 c1 d1
学习相似原理时，应充分理解下面3个问题： ①实验时应该测量那些量 ②实验后如何整理实验数据 ③所得结果可以推广应用的条件是什么
1.相似原理 ——用实验方法求解对流换热问题的思路
（1）物理量相似的性质
①用相同形式且具有相同内容的微分方程时所描述 的现象为同类现象，只有同类现象才能谈相似。 ②彼此相似的现象，其同名准则数必定相等。 ③彼此相似的现象，其有关的物理量场分别相似 实验中只需测量各特征数所包含的物理量,避免 了测量的盲目性，这就解决了实验中测量哪些物 理量的问题