4
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 2a 的立方体，使 q 处于边长 2a 的立方体中心，则 边长 2a 的正方形上电通量 e
对于边长 a 的正方形，如果它不包含 q 所在的顶点，则 e
如果它包含 q 所在顶点则 e 0 ．
如题 8-9(a)图所示．题 8-9(3)图
s
方向沿 OP 2 l2 2 l 4π 0 (r ) r 4 2 (1)点电荷 q 位于一边长为a的立方体中心， 试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个
2



R ) x
q
0
立方体六个面，当 q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量 e
q ． 6 0 q 6 0 q ， 24 0
1 q2 1 2 cos 30 2 4π 0 a 4π 0
解得 (2)与三角形边长无关．
qq ( 3 2 a) 3
q
3 q 3
题 8-1 图
题 8-2 图
8-2 两小球的质量都是 m ，都用长为 l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线 夹角为2 ,如题8-2图所示． 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计， 求每个小球所带的 解: 如题 8-2 图示
大学物理（第三版）下册课后习题答案
习题八
8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中 心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题 8-1 图示 (1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知： q 为负电荷
d=0.2cm，把这电
r ， E PO 3 0 r , E PO 3 0
∴腔内场强是均匀的． -6 8-14 一电偶极子由 q =1.0×10 C 5 -1 偶极子放在1.0×10 N·C 解: ∴ ∵ 电偶极子 p 在外场 E 中受力矩
题 8-9(a)图
题 8-9(b)图
题 8-9(c)图
(3)∵通过半径为 R 的圆平面的电通量等于通过半径为 R 2 x 2 的球冠面的电通量，球冠 面积*
S 2π( R 2 x 2 )[1
∴
x R x2
2
]

q0
S
2 2
0 4 π( R x )


q x [1 ] 2 2 0 R x2
6
题 8-13 图(a) 题 8-13 图(b) (3)设空腔任一点 P 相对 O 的位矢为 r ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b)图) 则
∴
d E P E PO E PO (r r ) OO' 3 0 3 0 3 0
，另一板受它的作用力 f q
板的电场为 E 的电场力．
q 2 0 S

q2 ，这是两板间相互作用 2 0 S

8-5 一电偶极子的电矩为 p ql ，场点到偶极子中心O点的距离为 r ,矢量 r 与 l 的夹角为 且 r l ． 试证P点的场强 E 在 r 方向上的分量 E r 和垂直于 r 的分量 E 分 ,(见题8-5图)， 别为
Er =
题 8-5 图 题 8-6 图 -1 8-6 长 l =15.0cm AB上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9C·m (1)在导线的延长线上与导线B端相距 a1 =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与 导线中点相距 d 2 =5.0cm 处 Q 解： 如题 8-6 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为
s
5
-3



q , E 4πr
0
2

q
0
当 r 5 cm 时， q 0 , E 0
r 8 cm 时， q p
4π 3 3 ) (r r内 3
4π 3 2 r r内 3 ∴ 3.48 10 4 N C 1 ， 方向沿半径向外． E 2 4π 0 r 4π 3 3 r 12 cm 时, q ） (r外 r内 3 4π 3 3 r外 r内 3 ∴ E 4.10 10 4 N C 1 沿半径向外. 2 4π 0 r 8-11 半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量 和 - ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点的场强． q 解: 高斯定理 E dS
dE P
1 dx 4π 0 (a x) 2
l 2 dx E P dE P l 4π 0 2 (a x) 2 1 1 [ ] l l 4π 0 a a
ห้องสมุดไป่ตู้

用 l 15 cm ， 5.0 10
9
l
π 0 (4a 2 l 2 )
q2 4 0 d
2
,又有人说，因为 f = qE , E
q ，所 0S
q2 ．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 0S
解: 题中的两种说法均不对． 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的， 第二种说法把
1
合场强 E
q 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个 0S q 2 0 S
dE P

l
题 8-8 图 由于对称性， P 点场强沿 OP 方向，大小为
EP 4 dE
q 4l
4lr l2 l2 ) r2 4 2
4π 0 (r 2
∵ ∴

EP qr
8-9 面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的 电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷 q 的电场中取半径为R的圆平面．q 在该平 面轴线上的 A 点处，求：通过圆平面的电通量．( arctan 解: (1)由高斯定理 E dS



p cos p sin , E = 3 2 0 r 4 0 r 3 证: 如题 8-5 所示，将 p 分解为与 r 平行的分量 p sin 和垂直于 r 的分量 p sin ． ∵ r l ∴ 场点 P 在 r 方向场强分量 p cos Er 2π 0 r 3 垂直于 r 方向，即 方向场强分量 p sin E0 4π 0 r 3

q 4π 0 r
2
r0 仅对点电荷成立，当 r 0 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求
场强是错误的， 实际带电体有一定形状大小， 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是 无限大． 8-4 在真空中有 A ，B 两平行板， 相对距离为 d ， 板面积为 S ， 其带电量分别为+ q 和- q ． 则 这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 以f =
2
2
C m 1 , a 12.5 cm 代入得 E P 6.74 10 2 N C 1 方向水平向右
2
(2)
dEQ
由于对称性 dEQx
l

1 dx 方向如题 8-6 图所示 2 4π 0 x d 2 2 0 ，即 E Q 只有 y 分量，
1 dx 2 4π 0 x d 2 2 d2 x2 d2 2
cos d 4π 0 R


0
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为 l ，总电量为 q ．(1)求这正方形轴线上离中心为 r 处的场强 E ；(2)证明：在 r l 处，它相当于点电荷 q 产生的场强 E 解: 如 8-8 图示，正方形一条边上电荷
dE P
q 在 P 点产生物强 dE P 方向如图，大小为 4 cos 1 cos 2
dq dl Rd ，它在 O 点产生场强大小为 Rd 方向沿半径向外 dE 4π 0 R 2
则 dE x dE sin
题 8-7 图
sin d 4π 0 R
dE y dE cos( )
积分 E x
sin d 4π 0 R 2π 0 R Ey cos d 0 0 4π 0 R ∴ E Ex ，方向沿 x 轴正向． 2π 0 R
1 ( 1 2 )n 2 0 1 1 面外， E ( 1 2 )n 2 0 1 2 面外， E ( 1 2 )n 2 0 n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面． 8-13 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 r ＜ R 的 小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均
两面间， E 匀的． 解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题 8-13 图(a)． (1) 球在 O 点产生电场 E10 0 ，


4 3 πr 球在 O 点产生电场 E 20 3 OO' 4π 0 d 3 r3 ∴ O 点电场 E0 OO' ； 3 0 d 3 4 3 d (2) 在 O 产生电场 E10 3 OO' 4π 0 d 3 球在 O 产生电场 E20 0 ∴ O 点电场 E0 OO' 3 0
∵
dEQy
EQy dEQy
l
d 2 4π 2

l 2 l 2
dx (x d )
2 2 2 3 2

l
2π 0 l 2 4d 2 2
以 5.0 10 9 C cm 1 , l 15 cm , d 2 5 cm 代入得