【答案】（1）圆心 C 的坐标为（1， ）；
（2）抛物线的解析式为 y= x2﹣ x； （3）点 D、E 均在抛物线上； （4）﹣1＜x0＜0，或 2＜x0＜3． 【解析】 试题分析：（1）如图线段 AB 是圆 C 的直径，因为点 A、B 的坐标已知，根据平行线的性 质即可求得点 C 的坐标；
（2）因为抛物线过点 A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线 y=﹣ x 的交点，即是 二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析 式；
∵ P 是半圆 O 上的点，P 在 y 轴上，∴ OP=2，∠ AOP=90°，∴ AC=2，∴ 四边形 AOPC 是正方
形，
∴ 正方形的面积是 4，
又∵ BD⊥AB，BD=6，∴ 梯形 OPDB 的面积= (OP DB) OB (2 6) 2 8 ，
2
2
∴ 点 P 的关联图形的面积是 12．
（2）
，AB 是圆的直径，所以 OB=5；
于点 ，交 于
点 ，F 是 BC 的中点；
，BF=4；在直角三角形 OBF 中由勾股定理得
OF=
；根据题意
，
，则
，所以
，从而
，解得 DF= ，
的面积
= 考点：直线与圆相切，相似三角形 点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切， 能判定两个三角形相似
的两根，则其 ； ；矩形两邻边的长 、 是方
程
的两根，则
；因为
，所以
由
得
；解得
（3）矩形变为正方形，则 a=b； 、 是方程
的两根，所以
方程有两个相等的实数根，即
，由
题乙：（1）BD 是切线；如图所示，
得 是弧 AC 所对的圆周角，
；因为 ，所以
，所以 ，
；
于点 ，
，在三角形 OBD 中
，所以 OB⊥BD；BD 是 切线
【答案】（1）12；（2）判断△ OCD 是直角三角形，证明见解析；（3）连接 OC，交半圆
O 于点 P，这时点 P 的关联图形的面积最大，理由风解析， 8 4 2 .
【解析】
试题分析：（1）判断出四边形 AOPC 是正方形，得到正方形的面积是 4，根据 BD⊥AB，
BD=6，求出梯形 OPDB 的面积= (OP DB) OB (2 6) 2 8 ，二者相加即为点 P 的
重庆市南开中学数学圆 几何综合中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB 于点 A，AC=2，BD⊥AB 于 点 B，BD=6，以 AB 为直径的半圆 O 上有一动点 P（不与 A、B 两点重合），连接 PD、 PC，我们把由五条线段 AB、BD、DP、PC、CA 所组成的封闭图形 ABDPC 叫做点 P 的关联图 形，如图 1 所示. （1）如图 2，当 P 运动到半圆 O 与 y 轴的交点位置时，求点 P 的关联图形的面积. （2）如图 3，连接 CD、OC、OD,判断△ OCD 的形状，并加以证明. （3）当点 P 运动到什么位置时，点 P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积 的最大值.
题乙：如图， 是 直径，
点 ，且
．
于点 ，交 于
（1）判断直线 和
（2）当
，
的位置关系，并给出证明；
时，求
的面积．
【答案】题甲（1）
（2）
（3）
题乙：（1）BD 是 【解析】
切线；证明
所以 OB⊥BD，BD 是 切线（2）S=
试题分析：题甲：（1） 、 是方程
由
得
（2）矩形两邻边的长 、 ，矩形的对角线的平方=
∴ PC 在半圆外，设在半圆 O 上的任意一点 P′到 CD 的距离为 P′H，则 P′H+P′O＞OH＞OC， ∵ OC=PC+OP，∴ P′H＞PC，∴ 当点 P 运动到半圆 O 与 OC 的交点位置时，点 P 的关联图形 的面积最大．
∵ CD= 4 2 ，CP= 2 2 2 ，
∴ △ PCD 的面积= ( AC DB) AB (2 6) 4 16 ，
2
2
∴ 点 P 的关联图形的最大面积是梯形 ACDB 的面积﹣△ PCD 的面积
=16 (8 4 2) 8 4 2 ．
考点：圆的综合题．
2．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分
题甲：已知矩形两邻边的长 、 是方程
的两根.
（1）求 的取值范围； （2）当矩形的对角线长为 时，求 的值； （3）当 为何值时，矩形变为正方形？
（2）判断△ OCD 是直角三角形．
证明：延长 CP 交 BD 于点 F，则四边形 ACFB 为矩形，∴ CF=DF=4，∠ DCF=45°，
∴ ∠ OCD=90°， ∴ OC⊥CD，∴ △ OCD 是直角三角形．
（3）连接 OC 交半圆 O 于点 P，则点 P 即为所确定的点的位置．
理由如下：连接 CD，梯形 ACDB 的面积= ( AC DB) AB (2 6) 4 16 为定值，
2
2
关联图形的面积是 12．
（2）根据 CBiblioteka =DF=4，∠ DCF=45°，求出∠ OCD=90°，判断出△ OCD 是直角三角形．
（3）要使点 P 的关联图形的面积最大，就要使△ PCD 的面积最小，确定关联图形的最大面
积是梯形 ACDB 的面积﹣△ PCD 的面积，根据此思路，进行解答．
试题解析：（1）∵ A（﹣2，0），∴ OA=2，
2
2
要使点 P 的关联图形的面积最大，就要使△ PCD 的面积最小，
∵ CD 为定长，∴ P 到 CD 的距离就要最小，
连接 OC，设交半圆 O 于点 P，
∵ AC⊥OA，AC=OA，∴ ∠ AOC=45°，过 C 作 CF⊥BD 于 F，则 ACFB 为矩形，
∴ CF=DF=4，∠ DCF=45°，∴ OC⊥CD，OC= 2 2 ，
3．在直角坐标系中，⊙C 过原点 O，交 x 轴于点 A（2，0），交 y 轴于点 B（0， ）． （1）求圆心 C 的坐标．
（2）抛物线 y=ax2+bx+c 过 O，A 两点，且顶点在正比例函数 y=- 的图象上，求抛物线的 解析式． （3）过圆心 C 作平行于 x 轴的直线 DE，交⊙C 于 D，E 两点，试判断 D，E 两点是否在 （2）中的抛物线上． （4）若（2）中的抛物线上存在点 P（x0，y0），满足∠ APB 为钝角，求 x0 的取值范围．