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5.3 多项式矩阵描述的互质性 和状态空间描述的能控性与能观测性
• 互质性与能控性、能观性的等价性
1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dimA
的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行 （列）既约，严格真；
– 在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求 (s)P 1(s)Q (s)u(s)
-总之
Co(sI Ao)1Bou(s) Y(s)u(s)
y(s)R(s)(s)W(s)u(s)
R(s)Co (sIAo)1Bou(s)[R(s)Y(s)W(s)]u(s)
X(s)(sIAo)C
C(sIAo)1Bou(s)[X(s)BoR(s)Y(s)W(s)]u(s)
注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。
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二. PMD和其他描述的关系
1 多项式矩阵的传递函数矩阵
G (s) R (s)P 1 (s)Q (s) W (s)
2 状态空间描述的PMD
给 定 y x C A x x E B (ur1观(s)Q 测r(器s) 形实现，则
PMD的一个实现(A,B,C,E(p))为：
最小实现

A C [
Ao R(
, s
B Bo )Co ]s
A

E
(
p)

E(s)
|s
p
当且仅当PMD为不可简约时，其维数为
n=deg detP(s)的任何实现均为最小实现。
第5章 线性时不变系统的 多项式矩阵描述
5.1 多项式矩阵描述(PMD) 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描
述的能控性与能观测性 5.4 传输零点和解耦零点 5.5 系统矩阵和严格系统等价
主要的数学描述
输入 输出 描述
状态 空间 描述
矩阵 分式 描述
系统 矩阵 描述
则状态空间描述等价的PMD为：
(SIA)ˆ(s)Buˆ(s)
yˆ(s)Cˆ(s)E(s)uˆ(s)
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3.矩阵分式描述的PMD
给 定 G (s ) N (s )D 1 (s )+ E (s )
则等价的PMD为： D(s)ˆ(s)Iuˆ(s) yˆ(s)N(s)ˆ(s)E(s)uˆ(s)
(s) F (s) (s)
H 1 ( s ) P ( s ) F 1 ( s ) ( s ) H 1 ( s)Q ( s )u ( s )

y(s)

R(s)F
1 ( s )
(s)

W
( s )u ( s )
P(s) H 1(s)P(s)F 1(s),Q (s) H 1(s)Q (s)
C(sIAo)1Bou(s)E(s)u(s)
实现为 2019/11/10 {A,B,C,E(p)}
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[结论]
对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),
表 P 1 ( s ) Q ( s ) P r 1 ( s ) Q r ( s ) P r 1 ( s ) Q r ( s ) Y ( s )
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5.1 多项式矩阵描述(PMD)
一 多项式矩阵描述的形式
多输入多输出线性定常系统：
输 入 u=u1,广 义 状 态 =1， 输 出 y=y1
up
m
yq
系统的多项式矩阵描述为：
P(s)(s)Q (s)u(s) y(s)R(s)(s)W (s)u(s)
R(s) R(s)F 1(s),W (s)
{P (s), Q (s), R (s),W (s)}即 为 不 可 简 约
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5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q (s)W (s)C(sIA)1BE(s) 则{称 A,B,C,E(p)为 } 给 PM 定 的 D实 . 现
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（3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得
H 1(s)P (s) (s) H 1(s)Q (s)u (s)

y(s)

R (s)
(s)

W
(s)u
(s)
再 消 去 H 1 (s) P (s)和 R ( s)的 gcrd F (s ) ,即 做 代 换
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strictly proper
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-对 Pr1(s)Q求r(s观) 测器形实现（利用上节方法）， 得 {Ao,Bo,C必o}有,
Co(sI Ao)1Bo Pr1(s)Qr (s) ( Ao , Co )observable
(s) [Pr1(s)Qr (s) Y(s)]u(s)
的实现。 • 步骤：
– 先把 P1(s)Q化(s成) 满足左MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约， Pr1(s)严Qr(格s)真；
(s)P1(s)Q(s)u(s)[M(s)P(s)]1[M(s)Q(s)]u(s)
Pr(s)
Qr(s)
Pr1(s)Qr(s)u(s)[Y(s)Pr1(s)Qr(s)]u(s)
三.不可简约PMD
不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}
右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
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