2解020/耦6/17零点。
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1. 输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的 gcld H(s)，即
P(s) H (s)P (s), Q(s) H (s)Q (s), 则
G(s) R(s)[H (s)P (s)]1[H (s)Q (s)] W (s)
Cˆ(s)
E(s)uˆ(s)
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3.矩阵分式描述的PMD
给定G(s) N (s)D1(s)+E(s)
则等价的PMD为： D(s)ˆ
(s)
E(s)uˆ(s)
三.不可简约PMD
不可简约PMD：{P(s),Q(s)}左互质，且{P(s),R(s)}
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strictly proper
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-对 Pr1(s)Q求r (s观) 测器形实现（利用上节方法）， 得 {Ao, Bo ,C必o}有,
Co (sI Ao )1 Bo Pr1(s)Qr (s) ( Ao ,Co )observable
(s) [Pr1(s)Qr (s) Y (s)]u(s)
则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控）
对左MFD，DL1(s)NL (s) DL1(s)NL (s) EL (s)
能观类实现： {A, B,C , E},dim A deg det DL (s),则
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{DL (s), NL (s)}右互质 {A, B}能控
同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是det P(s)=0的根
状态空间描述为{A,B,C,E}
系统极点是det(sI-A)=0的根
以上二者是等同的。
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数 矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的
R(s)P (s)1Q (s) W (s)
可见，H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。
定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。
意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了
耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。
由于
[P(s) Q(s)] H (s)[ P (s) Q (s)] rank[P (s) Q (s)] m,s C
即
P(s) L(s)P1(s) Q(s) L(s)Q1(s)
P(s) P2 (s)L(s) 则
R(s) R1(s)L(s)
G(s) R(s)P11(s)Q1(s) W (s) R1(s)P21(s)Q(s) W (s)
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又 是o.d.z.这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点， i.o.d.z
P(s)F (s) (s) Q(s)u(s)
y(s) R(s)F (s) (s) W (s)u(s) 设%(s) F (s) (s),则
P(s)%(s) Q(s)u(s)
y(s)
R
(s)%(s)
W
(s)u(s)
不可简约
rank P(s) Q(s) rank P(s) Q(s) ,故P(s),Q(s)左互质.
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➢ MFD的系统矩阵：
线性定常系统右MFDN (s)D1(s的) 系统矩阵定义为：
S(s)=
D(s) -N(s)
Ip
0
左MFDDL1(s)NL (的s) 系统矩阵为：
S(s)=
DL (s) -Iq
NL (s)
0
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2 判断PMD的不可简约性
• 互质性与能控性、能观性的等价性
1.给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dimA
的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则
{P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控
{P(s),R(s)}右互质{A，C}能观
2. 对右MFD，N (s)D1(s) N (s)D1(s) E(s) 能控类实现:{A，B，C，E}，dimA=deg detD(s)
第5章 线性时不变系统的 多项式矩阵描述
5.1 多项式矩阵描述(PMD) 5.2 多项式矩阵描述的状态空间实现 5.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描
述的能控性与能观测性 5.4 传输零点和解耦零点 5.5 系统矩阵和严格系统等价
主要的数学描述
输入 输出 描述
状态 空间 描述
矩阵 分式 描述
系统 矩阵 描述
的实现。 • 步骤：
– 先把 P1(s)Q化(s)成满足左MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约， Pr1(s)严Qr (格s) 真；
(s) P1(s)Q(s)u(s) [1M4(s2)P4(s3)]1[1M4(s2)Q4(s3)]u(s)
Pr (s)
Qr (s)
Pr1(s)Qr (s)u(s) [Y (s) 1Pr41(s2)Q4r (3s)]u(s)
• 注：PMD实现具有强不唯一性
二 .构造PMD实现的方法
以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行 （列）既约，严格真；
– 在P(s)ζ(s)=Q(s)u(s)中，先求 (s) P1(s)Q(s)u(s)
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• 注：
– 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左 公因子和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函 数矩阵的零极点不包含解耦零点。
– 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系 统的极点Ps和零点Zs分别为
Ps P i.d.z o.d.z i.o.d.z Zs Z i.d.z o.d.z i.o.d.z
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3.对{A,B,C,E(p)}, G(s) C(sI A)1 B E(s) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。
4.SISO系统{A，b，c}，
g(s) c(sI A)1b c adj(sI A) b N (s) det(sI A) (s)
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5.2 PMD的状态空间实现
一. PMD实现的定义
给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空 间描述{A,B,C,E(p)}，使
R(s)P1(s)Q(s) W (s) C(sI A)1 B E(s) 则称{A, B,C, E( p)}为给定PMD的实现.
同前, 输出解耦零点又等同于使 RP((ss))降秩的所有s值.
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分
202状0/6态/17 不完全反映到系统输出中去。
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3. 输入输出解耦零点
若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld)
同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)
此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s),非奇异
则
P(s) H (s)P(s)
Q(s) H (s)Q(s)
P (s), Q(s)左互质
P(s) (s) Q(s)u(s)两边左乘H 1(s), 得
P(s) (s) Q(s)u(s)
y(s)
R(s)
(s)
W
(s)u(s)
不可简约
rank
P(s) R( s)
rank
P(s)
R(s)
,
故P(s),
R(s)右互质.
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(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇异
P(s) P(s)F (s) R(s) R(s)F (s) P(s), R(s)右互质 原描述可写成
C(sI Ao )1 Bou(s) E(s)u(s)
实现为 2020/6/17 {A, B,C, E( p)}
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[结论]
对线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s)),
表 P1(s)Q(s) Pr1(s)Qr (s) Pr1(s)Qr (s) Y (s)
而 {Ao, B为o,C严o}真
-总之
Co (sI Ao )1 Bou(s) Y (s)u(s)
y(s) R(s) (s) W (s)u(s)
1R(2s)C3 o (sI Ao )1 Bou(s) [R(s)Y (s) W (s)]u(s)
X (s)(sI Ao )C
C(sI Ao )1 Bou(s) [ X (s)Bo R(s)Y (s) W (s)]u(s)
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5.1 多项式矩阵描述(PMD)
一 多项式矩阵描述的形式
多输入多输出线性定常系统：
输入u=
uM1
,广义状态
=
1
M，输出y=
yM1
up
m
yq
系统的多项式矩阵描述为：
)
P(s)
(s)
Q(s)u) (s)
y) (s)
)
R(s)
(s)
W
(s)u) (s)
注：它是系统的内部描述，是最一般的描述。
右互质
不可简约PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵