y
x
x 0时，y 0 x l时, y 0
0 A sin 0 B cos 0 0 A sin kl B cos kl
l
M ( x)
FN Fcr
y
Fcr k2 令： EI
一、推导（两端铰支）
x
Fcr
2 EI
l2
梁的弯矩方程:
Mechanic of Materials
F Fcr
B
Fcr
B
M ( x) Fcr y
梁的挠曲线近似微分方程:
EIy '' Fcr y
y '' Fcr y EI
Q
y
A
EI z y '' M ( x)
F=Fcr
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
随遇平衡
干扰力去除，压杆保持微弯的平衡状态
§9.1 压杆稳定的概念
F>Fcr
Mechanic of Materials
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
不稳定平衡
干扰力去除，继续变形，直至折断
§9.1 压杆稳定的概念
压杆的三种平衡状态比较
F<Fcr F=Fcr F>Fcr
（2）或定义为使压杆失稳的最小载荷 注：试验法测Fcr,上述两个定义将是一致的。 如用理论推导的方法，则前一定义无法建立数学方程 常研究微弯状态的平衡，即失稳所需最小载荷作为Fcr 2、临界应力σcr： σcr=Fcr/A σcr—临界应力(critical stress）

§9.2 两端铰支细长压杆的临界力
Mechanic of Materials
1917年，在经历了两次惨痛的悲剧后， 魁北克大桥终于竣工通车。 工程师之戒 (Iron Ring) 1907年的第一次坍塌灾难极为深重，是 一起强调强度设计而未知压杆屈曲失稳造 成的桥梁倒塌
压杆稳定引言 Mechanic of Materials
该桥梁倒塌事故的原因是对结构构件的受压失稳机理没有认识 从此桥梁等结构设计中迅速开展了压杆稳定的试验研究工作
使结构设计从只强调强度设计,变为必须考虑强度、 刚度与稳定性并重的更完善的体系。
压杆稳定引言 五、压杆稳定的奠基人
十八世纪
欧拉(Euler，1707－1783)，数学家 及自然科学家。 于1757年对梁的弹性 曲线作了深刻地分析和研究, 这方面的 成果见《曲线的变分法》。
一生共写下了886本书籍和论文。在失明后的17年间，他还 口述了几本书和400篇左右的论文。
液压缸顶杆
千斤顶
压杆稳定引言 稳定性问题
液压机构中的顶 杆，如果承受的压 力过大，或者过于 细长，就有可能突 然由直变弯，发生 稳定性失效。
Mechanic of Materials
单击图片播放
压杆稳定引言
四、压杆失稳实例
著名工程师 里奥多· 库珀设计
加拿大魁北克大桥。1907 年8月29日下午5点32分，即将 建成的大桥突然倒塌，当场造成 了至少75人死亡，多人受伤。 1913年，这座大桥的建设重 新开始，然而不幸的是悲剧于 1916年9月再次发生。
Mechanic of Materials
十九世纪后期
近代压杆稳定计算奠基之一：雅辛斯基（1856-1899），俄国工 程师和科学家。 提出中、小柔度压杆临界应力计算的直线公式。
§9.1 压杆稳定的概念
一、压杆的两类力学模型
1、轴心受压杆 （1）杆由均貭材料制成； （2）轴线为直线； （3）外力的作用线与 压杆轴线重合。 （不存在压杆弯曲的初 始因素） 《材料力学》研究对象 2、小偏心压杆与初 弯曲压杆
第九章
压杆稳定
目录
第二十六讲的内容、要求、重难点
教学内容： Mechanic of Materials
压杆稳定的基本概念，不同约束、轴心受压压杆临界力的欧 拉公式。欧拉公式的适用范围。
教学要求：
1、了解压杆稳定性的概念，临界力，三种平衡；
2 、理解两端铰支轴心受压压杆临界力的欧拉公式推导、欧 拉公式的适用范围； 3、掌握欧拉公式的应用。
外力超过某值,压杆突然变
弯,不再保持原有的直线状态平
衡,过渡为曲线形状的平衡,甚 至折断。
F F F
五、失稳的实质
压弯组合变形
y
M= F·y
FN = F
§9.1 压杆稳定的概念
六、临界力、临界应力
1、临界力Fcr：
判断压杆是否 失稳的指标
Mechanic of Materials
（1）压杆保持直线稳定平衡状态所能承受的最大载荷
Fmax A[ ]


4 压杆的稳定性试验 （实测Pmax= 160N，与计算值相差近20倍）
0.0202 107 3141N
造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存在稳定问题 ，因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。
目录
压杆稳定引言
三、工程实例
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
F
F
F
§9.1 压杆稳定的概念
二、压杆的三种平衡状态
Mechanic of Materials
F<Fcr
稳定平衡
干扰力去除后，压杆经数次摆动，恢复原有直线平衡状态
压 杆 与 小 球 的 平 衡 类 比
§9.1 压杆稳定的概念 Mechanic of Materials
轴向拉压杆的承载力，强度条件：
FN [ ] A
材料失效表现为屈服或断裂 二、知新
该公式的适用条件是什么？
是否适用于所有的轴向拉伸和压缩杆？
目录
压杆稳定引言
一根长2m的柳条木，直径d=20mm, [σ]=10MPa, 承压时其Fmax=? 解：若按强度计算
Mechanic of Materials
重点： 临界力的概念、及其计算
难点： 欧拉公式的推导。
学时安排：2学时
第二十六讲的目录
第九章 压杆的稳定
§9.1 压杆稳定的概念
Mechanic of Materials
目录
§9.2 两端铰支细长压杆的临界力 §9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
目录
压杆稳定引言 一、温故
Mechanic of Materials
1、 稳定平衡
干扰力去除，恢复直线
2、随遇平衡
干扰力去除，保持微弯
3、不稳定平衡
干扰力去除，继续 变形，直至折断
§9.1 压杆稳定的概念
三、压杆的稳定性：
F>Fcr
Mechanic of Materials
压杆保持原有直线形式平 衡状态的能力。
四、压杆失稳