本章主要内容
§14-1 基本概念 §14-2 细长压杆的临界力 §14-3 压杆的临界应力 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 压杆的稳定较核 §14-6 提高压杆稳定性的措施
材料力学
§14-1 基本概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F A

[ cr
]
即 F [ ]
A
或
F [ ] A
材料力学
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响
不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
b
s
(小柔度杆)
cr s
材料力学
•压杆柔度 l
i
μ的四种取值情况
i
I A
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限
s

a s
b
s 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr

2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
Fc r

π 2 EI (μ l)2

π2
206109 0.77108 (2 0.5) 2
15.7103 N
15.7kN源自材料力学其他约束条件下细长压杆的临界力
材料力学
两端铰支 一端固定一端自由
Fcr

2EI
(l ) 2
1
Fcr

2EI
(2l ) 2
2
2EI Fcr (l)2
(2) 计算杆的柔度
L 2300 68.77 i 8.725
(3) 判断杆的类型，计算临界载荷。
s 60 68.77 p 100
故为中柔度杆
σcr=a-bλ=461-2.57×68.77=284.26MPa
Fcr σcr A 284 .26 352 / 4 273 .5 kN
状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。
材料力学
§14-5 压杆的稳定校核
解：CD梁 M C 0
F 2000 FN sin 30 1500 得 FN 26.6kN
AB杆 l 1
i l 1.5 1.732m
cos30
材料力学
FN 26.6kN
AB杆 l
x0
l
x
x
x0
y0
材料力学
解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯
性半径为对y0轴的惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计 算出其柔度（长细比）为：
l 2 0.5 172
i 0.58102
可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式
计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0 轴的惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的 临界力为：
1
i
l

1.5 cos30
1.732m
i I D4 d 4 4 A 64 D2 d 2
D2 d 2 16mm 4
得


11.732103 16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr n
2EI 118kN
Fcrl
(4) 稳定性校核。
Fcr F
可见，冲头设计是不合理的，应该减小冲头的 长度，以增强其在冲裁钢板时的稳定性。
材料力学
§14-6 提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
y
y y
y y
材料力学
y
y y
材料力学
y
y
材料力学
y
适用条件： 理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀） 线弹性，小变形 两端为铰支座
材料力学
例1: 图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知 杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界 力。
F
y0
材料力学
工程实例
材料力学
工程实例
材料力学
压杆的稳定性试验
材料力学
压杆的平衡
压力小于临界力
材料力学
压力大于临界力
材料力学
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳
屈曲
压力等于临界力
材料力学
材料力学
§14-2 细长压杆的临界力
两端铰支细长压杆的临界力
y
y
y
y
y
y
y
y
材料力学
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学
§14-3 压杆的临界应力
临界应力总图
材料力学
Fcr cr A
材料力学
§14−4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力、折减系数
稳定许用应力：
[
cr
]

cr
ns t
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔
度的增大而增大。稳定安全系数一般比强
度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，
其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安 全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
材料力学
折减系数或稳定系数： [ cr ] [ ]
是的函数，即 = () ，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力[cr]。
2
118
4.42
FN 26.6
nst

3
AB杆满足稳定性要求
材料力学
例2：冲头简化如图所示。冲头由优质碳钢制成，冲床最大冲裁力为 F=400kN，冲头的直径为冲裁的最小孔内径d=35mm，冲头长度为 L=300mm，试校核其稳定性。
解：(1) 由材料性能确定
p 100, s 60, a 461MPa， b 2.57MPa
材料力学
•减小压杆长度 l
材料力学
•减小长度系数μ（增强约束）
材料力学
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
材料力学
材料力学
(大柔度压杆) 欧拉公式只适用于大柔度压杆
材料力学
中小柔度杆临界应力计算 (大柔度杆) 欧拉公式
S P (中柔度杆)
cr a b s
当 a s 时，经验直线公式
b
s

a
s