2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b23．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣144．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．|a|≤1C．|a|＜1D．a≥15．已知不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立．则m取值范围是（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）D．（﹣1，0]6．已知正数x，y，且x+4y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．7．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则sin B•sin C的最大值为（）A．B．1C．D．28．等差数列{a n}的公差d≠0，a n∈R，前n项和为S n，则对正整数m，下列四个结论中：（1）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）S m，S2m，S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）S m，S2m，S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）9．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2＝r2，若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1一次交于点A，B，满足|PA|＝2|AB|，则半径r的取值范围是（）A．[5，55]B．[5，50]C．[10，50]D．[10，55]10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8B．4C．3D．6二、填空题．11．经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角α的取值范围分别为，．12．设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，当m＝时，l1∥l2，当m ＝时，l1⊥l2．13．数列{a n}中，前n项和为S n．若a1＝2，a2＝3，（n∈N*，n≥3），则a2020＝；S20＝．14．在数列{a n}中，a1＝，a n+1﹣a n＝，则该数列的通项公式a n＝；数列{a n}中最小的项的值为．15．过直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且过点（2，﹣1）的直线l的方程为．16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．若对于任意正整数n，不等式S2n﹣S n＞恒成立，则常数m所能取得的最大整数为．17．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2＝﹣x+1的距离之和为，则a2+b2的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．19．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M（2，2），且被圆A截得的弦长为2，求直线n的方程．21．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．（1）若OM＝，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．22．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，，P1为AB边上的一点，BP1≠AB．从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2、R2、P3；Q3、R3、P4……（Ⅰ）令BP n为x n，用x n表示x n+1；（Ⅱ）若P0为AB边上的一点且|BP0|＝，是否存在正整数m，对于任意P1使得点P0与P m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．解：因为直线y＝﹣x+1的斜率为k＝﹣，所以直线的倾斜角为α，tanα＝﹣，所以α＝120°．故选：C．2．若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．对于B：a＜b＜6时，可得＜，故选：B．3．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10B．﹣10C．14D．﹣14【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2＝0的解为，把解代入方程求出a、b即可．解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+5＝0的解为则a＝﹣12，b＝﹣6，故选：D．4．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．|a|≤1C．|a|＜1D．a≥1【分析】先分类讨论去掉绝对值，分别研究在每一段上恒成立，最后求它们的公共部分．解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x＝0时，0≥a×6恒成立，即a∈R若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选：B．5．已知不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立．则m取值范围是（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）D．（﹣1，0]【分析】由不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，知m＝0或，由此能求出m的取值范围．解：∵不等式mx2+4mx﹣4＜5对任意实数x恒成立，∴m＝0或，故选：D．6．已知正数x，y，且x+4y＝1，则xy的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式先求出xy的范围，从而得到其最大值．解：∵x，y是满x+4y＝1的正数∴x+4y＝1≥6 即xy≤，故选：C．7．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则sin B•sin C的最大值为（）A．B．1C．D．2【分析】由＝tan，可得cos A＝0，A＝．于是sin B•sin C＝，即可得出．解：∵＝tan，∴cos A＝0，∵A∈（0，π），∴A＝．故选：C．8．等差数列{a n}的公差d≠0，a n∈R，前n项和为S n，则对正整数m，下列四个结论中：（1）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，也可能成等比数列；（2）S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，但不可能成等比数列；（3）S m，S2m，S3m可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）S m，S2m，S3m不可能成等比数列，也不可能成等差数列；正确的是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）【分析】由等差数列的性质可得S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，可知（2）正确；只有当d＝0时，才有S m，S2m，S3m成等比数列，故（4）正确，可得答案．解：由等差数列的性质可得S m，S2m﹣S m，S3m﹣S2m成等差数列，若也成等比数列，则必须有数列为常数列，与d≠0矛盾，只有当d＝0时，才有S m，S2m，S7m成等比数列，故（4）正确故选：D．9．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆C2：（x﹣17）2+（y ﹣30）2＝r2，若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1一次交于点A，B，满足|PA|＝2|AB|，则半径r的取值范围是（）A．[5，55]B．[5，50]C．[10，50]D．[10，55]【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可．解：圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2＝25，圆心（﹣1，6）；半径为：5．圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2＝r6．圆心（17，30）；半径为：r．如图：PA＝2AB，可得AB的最大值为直径，∴r∈[5，55]．故选：A．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是（）A．8B．4C．3D．6【分析】利用三角形的面积公式、余弦定理，化简，再利用辅助角公式，即可求得结论．解：＝，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A＝①而条件中的“高”容易联想到面积，a•a＝bc sin A，b2+c2＝2bc（cos A+sin A），故选：B．二、填空题．11．经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角α的取值范围分别为，．【分析】分别求出直线PA的斜率和倾斜角，直线PB的斜率和倾斜角，从而得出结论．解：经过P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接，B（2，7）的线段总有公共点，直线PA的斜率为＝，倾斜角为，PB的斜率为＝1，倾斜角为，故答案为：[，8]；[，]．12．设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，当m＝﹣1时，l1∥l2，当m ＝时，l1⊥l2．【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．解：∵直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+6y+2m＝0，l1∥l2，解得m＝﹣1；l3⊥l2，解得m＝；故答案为：﹣1，．13．数列{a n}中，前n项和为S n．若a1＝2，a2＝3，（n∈N*，n≥3），则a2020＝；S20＝29．【分析】由题设条件写出数列{a n}的前几项，找到数列{a n}的项的规律，即可解决问题．解：∵a1＝2，a7＝3，（n∈N*，n≥3），∴a8＝，a4＝＝，a5＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，…∴a2020＝a336×6+4＝a4＝，S20＝3（a4+a2+…+a6）+a1+a2＝3（2+3++++）+2+6＝29．故答案为：；29．14．在数列{a n}中，a1＝，a n+1﹣a n＝，则该数列的通项公式a n＝；数列{a n}中最小的项的值为．【分析】，然后利用累加法得到结果；得到通项公式之后，分离常数，进而得到数列最小项．解：（1），所以，…，因为，（2）．所以当n为1时，a n取得最小值为故答案为，15．过直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点，且过点（2，﹣1）的直线l的方程为3x+2y ﹣4＝0．【分析】先联立直线方程，求出直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点坐标，从而求出直线l的方程．解：联立方程，解得，所以直线x﹣2y+4＝0和x+y﹣2＝0的交点坐标为（7，2），故直线l的方程为：y＝﹣x+2，即3x+2y﹣7＝0，故答案为：3x+2y﹣4＝0．16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．若对于任意正整数n，不等式S2n﹣S n＞恒成立，则常数m所能取得的最大整数为5．【分析】由已知条件，推导出S2n﹣S n＝++…+，设b n＝S2n﹣S n，推导出b n+1﹣b n＝+﹣＞0，得到{b n}的最小值是b1，由此能求出结果．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝，前n项和为S n．S n＝a1+a2+a3+…+a n，∴S2n﹣S n＝a n+6+a n+2+…+a2n＝++…+，则b n+1﹣b n＝（++…+++）﹣（++…+）∴{b n}是递增数列∵不等式S2n﹣S n＞恒成立，∴b1＞．∴，解得m＜．故答案为：5．17．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2＝﹣x+1的距离之和为，则a2+b2的最大值是．【分析】根据题意，设动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2：y＝﹣x+1的距离为d1，d2，利用点到直线的距离公式可得：|a﹣b|+|a+b﹣1|＝4．通过分类讨论可知：点（a，b）是一个正方形的4条边，结合a2+b2的几何意义分析可得答案．解：根据题意，设动点P（a，b）到两直线l1：y＝x和l2：y＝﹣x+1的距离为d7，d2，则d1＝，d2＝，变形可得：|a﹣b|+|a+b﹣1|＝4，①当时，①式变形为b＝﹣；当时，①式变形为a＝﹣；a2+b2的几何意义为正方形边上任意一点与原点距离的平方，则当P在A点时，a2+b2的最大值，且其最大值为+＝；故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若b＝2，c＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A，sin B，sin C成等比数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C＝π算出B＝，再由正弦定理得sin C＝＝．根据b＞c得C为锐角，得到C＝，从而A＝π﹣B﹣C＝，△ABC是直角三角形，由此不难求出它的面积；（2）根据正弦定理，结合题意得b2＝ac，根据B＝利用余弦定理，得b2＝a2+c2﹣ac，从而得到a2+c2﹣ac＝ac，整理得得（a﹣c）2＝0，由此即可得到△ABC为等边三角形．解：∵A、B、C成等差数列，可得2B＝A+C．∴结合A+B+C＝π，可得B＝．∴由正弦定理，得sin C＝＝＝．因此，△ABC的面积为S＝＝×＝．∴由正弦定理，得b2＝ac∴a2+c4﹣ac＝ac，整理得（a﹣c）2＝0，可得a＝c∵B＝，∴A＝C＝，可得△ABC为等边三角形．19．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（1）由满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．整理得﹣＝1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知：c n＝＝n•3n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．解：（1）由满足（a n+1﹣1）a n+a n+1＝0（n∈N*）．整理得﹣＝1，∴＝1+（n﹣1）＝n，（2）由（1）知：c n＝＝n•3n，∴3S n＝32+8×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴S n＝×3n+1+．20．已知直线l：2x﹣3y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M（2，2），且被圆A截得的弦长为2，求直线n的方程．【分析】（1）根据斜率，中点关系，得出求解即可．（2）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．（3）直线n斜率不存在时不符合题意；用点斜式设出直线n的方程，由弦长为2，半径为3，可得弦心距为，即圆心（﹣1，﹣2）到直线n的距离为，由此利用点到直线的距离公式求得k的值，可得直线n的方程．解：（1）设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），∵直线l：2x﹣3y+1＝6，解得x0＝﹣，y0＝；（2）设直线l关于点A（﹣2，﹣2）对称的直线m上的点的坐标为N（x，y）．∴N′（﹣2﹣x，﹣4﹣y）在直线l：2x﹣3y+1＝3上，（3）当直线n的斜率不存在时，n的方程为x＝2，此时直线与圆A相切，与题意不符；由弦长为2，半径为3，可得弦心距d＝＝，9k2+16﹣24k＝2+5k2，7k8﹣24k+14＝0直线n的方程为y＝（x﹣2）+2．21．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．（1）若OM＝，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2﹣2•OP•MP cos45°，解得MP即可．（2）∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．解：（1）在△OPQ中，∠OPQ＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP5﹣2•OP•MP cos45°，（2）设∠POM＝α，0°≤α≤60°，所以，同理…8′＝＝＝＝ (14)所以当α＝30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8﹣6． (16)22．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝1，，P1为AB边上的一点，BP1≠AB．从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2、R2、P3；Q3、R3、P4……（Ⅰ）令BP n为x n，用x n表示x n+1；（Ⅱ）若P0为AB边上的一点且|BP0|＝，是否存在正整数m，对于任意P1使得点P0与P m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）由平面向量数量积的运算可得∠BAC＝60°，即△ABC是边长为1的正三角形；由BP n＝x n，可推出BQ n和CQ n的长，同理可用含x n的式子表示出CR n和AR n，以及AP n+1和BP n+1，从而得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，可构造以x1﹣为首项，﹣为公比的等比数列{x n﹣}，从而得其通项公式；由P0P m＝|BP m﹣BP0|可推出P0P m＝|x1﹣|•，再利用放缩法和试验法即可得解．解：（Ⅰ）由|AB|＝|AC|＝1，得：∠BAC＝60°，所以△ABC是边长为1的正三角形，同理可得，，，故．所以数列{x n﹣}是以x1﹣为首项，﹣为公比的等比数列，所以P0P m＝|BP m﹣BP2|＝|x m﹣|＝|x1﹣|•≤|1﹣|•＝•＜0.001，当m＝4时，，所以m≥4，故m的最小值为4．。