浙江省宁波市余姚市19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.如果ab =2，则a+ba−b的值是()A. 3B. −3C. 12D. 322.下列事件为必然事件的是()A. 买一张电影票，座位号是偶数B. 抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上C. 明天一定会下雨D. 百米短跑比赛，一定产生第一名3.抛物线y=x2+1的顶点坐标是()A. (1,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,1)4.△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是()A. 2，5B. 1，5C. 4，5D. 4，105.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A. 32π B. 2π C. 3π D. 6π6.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1=y2>y3B. y1>y2>y3C. y3>y2>y1D. y3>y1=y27.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB=5，则∠C为()A. 60°B. 90°C. 45°D. 30°8.若抛物线y=ax2+c经过点P(1,−2)，则它也经过()A. P1(−1,−2)B. P2(−1,2)C. P3(1,2)D. P4(2,1)9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=3√10，sinA=35，则AB的长为()A. 15B. 5√10C. 20D. 10√510.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：311.已知OA=4cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若使点A在⊙O内，则r的值可以是()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm12.如图，在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点E、F分别在边BC、AD上，则长AD与宽AB的比为()A. 6：5B. 13：10C. 8：7D. 4：3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.一个正八边形每个内角的度数为______度．14.比较下列三角函数值的大小：sin40°____sin50°．15.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为．16.把二次函数y=2x2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______．17.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，BD=1，则BC的长为______．18.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.若BE=3，ED=6，则AB=______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.计算：4sin45°+cos230°−．tan60°−√2四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）20.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的2个球中任意摸出1个球．(1)用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；(2)求两次摸到的球的颜色不同的概率．21.如图所示，小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现阳光下，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成锐角为26°，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m).(参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49)22.已知抛物线y=−x2+(m−1)x+m与y轴交于(0,3)，(1)求m的值；(2)求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标；(3)请直接写出抛物线在x轴上方时x的取值范围________．(4)请直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围________．23.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上(点C与点O、A不重合)，过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．(1)若∠F=30°，请证明E是BD⏜的中点；(2)若AC=1，求BE⋅EF的值．224.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元，每上涨1元，则每个月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？25.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD⏜上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．(1)求证：AC⊥BH；(2)若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求①CG的值；CD②EH的长．26.如图，在平面直角坐标系中，A(3,4)，B(5,0)，连结AO，AB.点C是线段AO上的动点(不与A，O重合)，连结BC，以BC为直径作⊙H，交x轴于点D，交AB于点E，连结CD，CE，过E 作EF⊥x轴于F，交BC于G．(1)AO的长为______，AB的长为______(直接写出答案)(2)求证：△ACE∽△BEF；(3)若圆心H落在EF上，求BC的长；(4)若△CEG是以CG为腰的等腰三角形，求点C的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积可得a=2b，然后代入比例式进行计算即可得解．解：∵ab=2，∴a=2b，∴a+ba−b =2b+b2b−b=3．故选：A．2.答案：D解析：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．解：A.是随机事件，选项错误；B.是随机事件，选项错误；C.是随机事件，选项错误；D.是必然事件，选项正确．故选D．3.答案：C解析：解：∵抛物线的解析式为：y=x2+1，∴其顶点坐标为(0,1)．故选：C．直接根据二次函数的顶点式可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．4.答案：A解析：本题考查三角形的内心、外心、三角形的面积及勾股定理的逆定理.解题的关键是正确应用三角形的内心和外心的性质．根据三角形的内心到三角形的三边等距离，可以运用三角形的面积求出内切圆的半径；根据直角三角形的外心是斜边的中点可得外接圆的半径．解：如图，△ABC中，设AC=6，BC=8，AB=10，根据勾股定理的逆定理由62+82=102可得△ABC是直角三角形，且AB是斜边，所以AB是外接圆的直径，所以外接圆的半径是5；设O是内心，作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，D、E、F是垂足，则OD=OE=OF=r，S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12r×10+12r×8+12r×6=12r，又因为S△ABC=12×8×6=24，所以12r=24，解得r=2，所以△ABC内切圆和外接圆的半径分别是2和5．故选A．5.答案：C解析：解：该扇形的弧长=90⋅π⋅6180=3π．故选：C．根据弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：弧长公式：l=n⋅π⋅R180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．6.答案：A解析：解：二次函数y=−x2+2x+c的图象的对称轴为直线x=−22×(−1)=1，而P1(−1,y1)和P2(3,y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5,y3)到直线x=1的距离为4，所以y1=y2>y3．故选：A．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y1，y2，y3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．7.答案：D解析：本题主要考查了三角形的外接圆与外心的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB=5，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=12∠AOB=12×60°=30°，故选：D．8.答案：A解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性．根据二次函数的对称性解答即可．解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，P(1,−2)关于y轴的对称点为(−1,−2)，∴抛物线也经过点(−1,−2)．故选A．9.答案：A解析：[分析]过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=3k，则AB=AC=5k，继而可求出BD=k，解直角三角形即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．[详解]解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，，在Rt△ACD中，sinA=35设CD=3k，则AB=AC=5k，∴AD=√AC2−CD2=4k，在Rt△BCD中，∵BD=AB−AD=5k−4k=k，在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√k2+9k2=√10k，∵BC=3√10，∴√10k=3√10，∴k=3，∴AB=5k=15，故选A．10.答案：C解析：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=12BC，DE//BC，∴DEBC =12，△DOE∽△COB，∴S△DOES△COB =(DEBC)2=(12)2=14，故选：C．根据三角形的中位线得出DE//BC，DE=12BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．11.答案：D解析：∵已知OA=4cm，以O为圆心，r为半径作⊙O.若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的大小应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．12.答案：A解析：解：连结EF，作IJ⊥LJ于J，∵在矩形ABCD内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，∴△HGF∽△FHE，△HGF≌△FML≌△LJI，∴HG：GF=FH：HE=1：2，∴长AD与宽AB的比为(1+2+1+2)：(2+2+1)=6：5．故选：A．连结EF，作IJ⊥LJ于J，根据中心对称图形的定义和相似三角形的性质可得两直角边的比是2：1，进一步得到长AD与宽AB的比．此题考查了中心对称图形，相似三角形的性质，关键是理解直角三角形两直角边的比是2：1．13.答案：135解析：解：一个正八边形每个内角的度数=18×(8−2)×180°=135°．故答案为：135．根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．14.答案：<解析：解：∵40°<50°，∴sin40°<sin50°．故答案为<．根据当0<α<90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°<sin50°．本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0<α<90°，sinα随α的增大而增大．15.答案：353 5解析：此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中正面数字是奇数的有1、3、5这3种结果，∴正面的数字是奇数的概率为3535；故答案为3．516.答案：y=2(x+3)2−4解析：解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的图象表达式为y=2(x+3)2−4，故答案为：y=2(x+3)2−4．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．17.答案：3解析：解：∵AB=AC，∠BAC=120°，×(180°−120°)=30°，∴∠B=∠C=12∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=30°，∴∠DAB=∠B，∴AD=BD=1，在Rt△DAC中，∠C=30°，∴CD=2AD=2，∴BC=BD+CD=3，故答案为：3．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°，进而得到∠DAB=∠B，即可得到AD=BD=1，根据直角三角形的性质计算出CD，即可．本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．18.答案：3√3解析：此题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用圆周角定理得出角相等，证得三角形相似是解决问题的关键.等弦对等角可证DB平分∠ABC，证得△ABE∽△DBA，根据相似三角形的性质可求AB的长．解：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，∴又∵∠ABE=∠ABD，∴△ABE∽△DBA，∴ABBE =BDAB，∵BE=3，ED=6，∴BD=9，∴AB2=BE⋅BD=3×9=27，∴AB=3√3．故答案为3√3．19.答案：解：原式=4×√22+(√32)2−√3−√2=2√2+34−2(√3+√2)=34−2√3．解析：直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.答案：解：(1)如图：；(2)共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为46=23．解析：(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)由(1)中树状图可知两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=30°，DC=8，∴DQ=4，QC=8cos30°=4√3，≈8.16(米)在Rt△DQE中，QE=QDtan26∘∴BE=BC+CQ+QE=(20+4√3+8.16)米，在Rt△ABE中，AB=BEtan26°≈17(米)．答：旗杆的高度约为17米．解析：延长AD交BC于E点，则BE即为AB的影长．然后根据物长和影长的比值计算即可．本题查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．22.答案：解：(1)∵抛物线y=−x2+(m−1)x+m与y轴交于(0,3)，∴3=0+(m−1)×0+m，解得：m=3；(2)∵m=3，∴抛物线解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，当y=−x2+2x+3=0，解得：x1=3，x2=−1，∴抛物线与x轴的交点坐标为：(3,0)，(−1,0)，顶点坐标为：(1,4)；(3)−1<x<3；(如图所示：当−1<x<3时，抛物线在x轴上方)(4)x<1.(如图所示：当x<1时，y随x的增大而增大)解析：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合得出x的取值范围是解题关键．(1)根据图象过点(0,3)，则可求出m的值；(2)利用(1)中所求得出二次函数解析式，进而求出其顶点坐标和与x轴的交点坐标；(3)画出函数图象进而得出抛物线在x轴上方时，x的取值范围；(4)利用函数开口方向以及对称轴位置，进而得出y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．23.答案：(1)证明：连接OE ，如图1所示．∵CF ⊥AB ，∴∠FCB =90°．∵∠F =30°，∴∠OBE =60°．∵OB =OE ，∴△OBE 为等边三角形，∴∠OEB =∠BOE =60°．∵OD//BF ，∴∠DOE =∠BEO =∠BOE =60°，∴BE ⏜=DE ⏜．(2)解：过点Q 作OM ⊥BE 于M ，如图2所示．∵OB =OE ，∴BE =2BM ．∵OD//BF ，∴∠COD =∠B ．在△OBM 和△DOC 中，{∠OMB =∠DCO =90°∠OBM =∠DOC OB =DO，∴△OBM≌△DOC(AAS)，∴BM =OC =2−12=32， ∴BE =2OC =3．∵OD//BF ，∴△COD∽△CBF ，∴OC BC =OD BF ，即322+32=2BF ，∴BF =143，∴EF =BF −BE =143−3=53，∴BE⋅EF=3×5=5．3解析：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)根据等边三角形的性质结合平行线的性质找出∠DOE=∠BOE；(2)利用全等三角形及相似三角形的性质，求出BM、BF的长度．(1)连接OE，由CF⊥AB、∠F=30°，可得出∠OBE=60°，结合OB=OE可得出△OBE为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠OEB=∠BOE=60°，由OD//BF利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，由此即可证出BE⏜=DE⏜；(2)过点Q作OM⊥BE于M，易证△OBM≌△DOC，根据全等三角形的性质可得出BM=OC=3，进2而可得出BE=3，由OD//BF可得出△COD∽△CBF，根据相似三角形的性质可求出BF的长度，结合EF=BF−BE可求出EF的长度，再将BE、EF的长度代入BE⋅EF中即可求结论．24.答案：(1)y=360−3x，自变量x的取值范围：50≤x≤120；(2)每件商品的售价定为80元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是6400元解析：[分析](1)当售价超过50元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖3件，直接根据销量=原销量−上涨的钱数×3即可求解，然后确定取值范围即可；(2)由利润=(售价−成本)×销售量列出函数关系式，(3)求出定义域内函数的最大值，然后作比较．[详解](1)y=210−3(x−50)，即y=360−3x，自变量x的取值范围：50≤x≤120，(2)w=−3x2+480x−14400，(3)当50≤x≤120时，w=−3x2+480x−14400，当x=80时，w有最大值为6400，答：每件商品的售价定为80元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是6400元．[点睛]本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．25.答案：解：(1)如图，连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC=180°−(∠EBC+∠DCA)=180°−90°=90°，∴AC⊥BH．(2)①∵∠ABC=45°、∠ADC=90°，∴AD=BD=8，则CD=√AC2−AD2=√102−82=6，∴BC=BD+CD=8+6=14，∵∠CBG=∠CAD、∠CGB=∠CDA=90°，∴△BCG∽△ACD，则CGCD =BCAC=1410=75；②∵∠BCE=∠ECD、∠EBC=∠DEC，∴△BEC∽△EDC ，则BC EC =EC DC ，即14EC =EC 6，即EC 2=84， 连接OE ，在Rt △CGE 中，EG 2=EC 2−CG 2，即EG 2=84−(5+OG)2，在Rt △EOG 中，EG 2=EO 2−OG 2，即EG 2=25−OG 2，则84−(5+OG)2=25−OG 2，解得：OG =175，则EG 2=25−(175)2=33625， ∴EG =4√215(负值舍去)， ∵AC ⊥BH ，∴EH =2EG =8√215．解析：(1)由∠DAC =∠DEC 、∠EBC =∠DEC 知∠DAC =∠EBC ，根据∠DAC +∠DCA =90°知∠EBC +∠DCA =90°，即可得证；(2)①由∠ABC =45°、∠ADC =90°知AD =BD =8、CD =6、BC =BD +CD =14，证△BCG∽△ACD 得CG CD =BC AC ；②先证△BEC∽△EDC 得BC EC =EC DC ，即EC 2=84，连接OE ，由EG 2=84−(5+OG)2且EG 2=25−OG 2可得OG =175，代入EG 2=25−OG 2得EG 的长度，再利用垂径定理可得答案．本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．26.答案：解：(1)5；2√5；(2)如图1中，∵OA=OB=5，∴∠A=∠EBF，∵BC是直径，∴∠BEC=∠AEC=90°，∵EF⊥OB，∴∠EFB=90°，∴∠AEC=∠EFB=90°，∴△ACE∽△BEF；(3)如图2中，当GC=GE时，点G与点H重合，∴GE=GB=GC，∴∠GEB=∠EBG，∵∠GEB+∠ABO=90°，∴∠EBG+∠ABO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠A+∠EBG=90°，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AO，∴OC=OB⋅cos∠AOB=3，∴BC=√OB2−OC2=√52−32=4；(4)①如图2中，当GC=GE时，点G与点H重合，∴GE=GB=GC，∴∠GEB=∠EBG，∵∠GEB+∠ABO=90°，∴∠EBG+∠ABO=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠A+∠EBG=90°，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AO，∴OC=OB⋅cos∠AOB=3，∴C(95,125)；②如图3中，当CE=CG时，作AK⊥OB于K.设CD=4k，OD=3k．∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE=∠BGF，∵∠CEG+∠BEF=90°，∠BGF+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠BEF，∵EF⊥OB，AK⊥PB，∴EF//AK，∴∠BEF=∠BAK，∴∠CBD=∠BAK，∵∠CDB=∠AKB=90°，∴△CBD∽△BAK，∴CDBK =BDAK，∴4k2=5−3k4，∴k=511，∴C(1511,2011)解析：本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．(1)利用两点间距离公式计算即可；(2)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；(3)当GC=GE时，点G与点H重合，根据三角函数和勾股定理解答即可；(4)分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．(1)∵A(3,4)，B(5,0)．∴OA=√32+42=5，OB=5，AB=√(3−5)2+42=2√5．故答案为5；2√5；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．。