然而，在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下，所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
7.2 群
定义 7.9 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数 称为群G的阶。含有单位元的群称为平凡群。
7.2 群
例7.17 <Z，+>是无穷群，<S，⊙>，其中S={a，b，c}，⊙的运算表如表7.3 可以验证，<S，⊙>是群，a为幺元，b和c互为逆元；又因为|G|=3，故<S， ⊙>是3阶群。 ⊙ a b c a a b c b b c a c c a b
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.3.1 子群的概念
子群就是群的子代数。 定义 7.13 给定群G，H是G的子集，使得 （1）G的单位元eH ， （2）如果a和bH ，那么abH ， （3）如果aH ，那么 H。
则称H为G的一个子群，（1）和（3）说明H是G的子幺半群。如果
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7.4 循环群与置换群
定义7.15 设<G，>是群，若a∈G，对x∈G，k∈Z，有x= ，则称<G， >是循环群，记作G=<a>，称a是群<G，>的生成元。
例 7.11 给定<Z，+>和<Q，*>，其中Z和Q分别为整数集和有理数集，+和*
分别是一般意义下的加法和乘法。可知<Z，+>是群，0是幺元，每个元素
i∈Z的逆元为-1；<Q，*>不是群，1是幺元，0无逆元。但<Q-{0}，*>是群。
在半群、独异点、群这些概念中，由于只含有一个二元运算，所以在不发 生混淆的情况下，可以将算符省去。例如将x*y写成xy。在下面的讨论中， 我们将常使用这种简略表示方法。
定义7.4 给定半群<S，⊙>及G⊆S，则G为<S，⊙>的生成集：
(∀a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而生
成的元素。类似地定义独异点<M，⊙，e>的生成集。
7.1 半群
例7.6： 给定<N，+>，其中N是自然数集合，+为一般意义下的加法，则<N， +>是无穷循环独异点，0是幺元，1是生成元。
是a和b的积。如果⊙是一个可交换的二元运算，则称半群<S，⊙>是一个
可交换半群。
7.1 半群
例 7.1 <Z,+>是一个可交换半群。因为加法满足结合率，同时加法是可交 换的，所以<Z,+>是一个可交换半群。
例 7.2 集合Z以及一般意义下的除法运算就不构成一个半群，因为除法运 算不是可结合的。
e e e a a b b c c
a
b c
a
b c
e
c b
c
e a
b
a e
7.2 群
定义7.8 给定群G，若⊙是可交换的，则称G是可交换群或G是Abel群。
例7.14 具有一般意义下的加法运算的所有整数的集合Z是一个Abel群，如 果a∈Z，那么a的逆是他的负数-a。
例7.15 在一般意义下的乘法运算 不是一个群，因为 中的元素2没有你元素。
定理7.4：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且s∈S的逆元 元 ，则积半群<S×T>中的逆元为
，t∈T的逆
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7.2 群
定义7.7 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点并且每个元素均 存在逆元，或满足⊙是可结合的并且关于⊙存在幺元并且G中每个元素关 于⊙是可逆的，则称<G，⊙>是群。记为G。群比独异点具有更强的条件。
G是一个群，H是G的一个子群，那么H也是关于G中运算的一个群， 因为G中的结合性定义7.14 给定群<G，⊙>及非空集合HG，则<H, ⊙>是<G，⊙>的子群 （a）（b）（a，b∈Ha⊙b∈H）（a）（a∈H ∈H）。
本定理表明<H，⊙>是<G，⊙>的子群的充要条件是H对于⊙封闭及H中每 个元素存在逆元。 定理7.6 设G为群，H是G的非空子集。则H是G的子群当且仅当a，b属于H 有a ∈H。
7.3.2 群的陪集与拉格朗日定理
给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。 因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地， 每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一 等价关系的等价类，其等价关系a1 ~ a2当且仅当a1−1a2会在H内。H的左 陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。 拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言， 其中o(G)和o(H)分别为G和H的目。特别地是，每一个G的子群的目(和每一 个G内元素的目)都必须为o(G)的因子。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于 [G:H]。 若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群 皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。
定义7.6 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，则有<{a，a2，a3，…}，⊙> 是<S，⊙>的循环子半群。
例7.8 ：给定半群<S，⊙>以及任意的a∈S，证明<{a， ，},⊙>是循环子
半群。
7.1 半群
例7.9 给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，⊗>为<S，⊙>和<T，*> 的积半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算⊗定义如下：<s1， t1>⊗<s2，t2> =<s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。由于⊗是 由⊙和*定义的，易知积半群是个半群。
7.2 群
例7.18 <Z，+>和<R，+>是无限群，<Zn，>是有限群也是n阶群。klein四 元群是四阶群。<{0}，+>是平凡群。上述的所有群都是交换群，但是n阶 （n≥2）实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵 乘法不满足交换律。
定理 7.5 给定群<G，>，则
7.2 群
定义 7.11 集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变换的集合，具 有下列性质： – – –
–
<TX，º >构成群，在代数中称为变换群。置换群是变换群的特例。
7.2 群
定义7.12 设p是集合X={ p（ ）= ，，p（ 为X上的n阶轮换，记为（ ， ）= ，， }上的n阶置换，若p（ ）= ）若n=2，称p为X上的对换。 ，
例 7.3 集合P（S），其中S是一个集合，加上并运算，它就构成一个交换
半群。因为并运算满足结合律和交换律。
7.1 半群
定义7.2 ：给定<M，⊙>，若<M，⊙>是半群且⊙有幺元或⊙满足结合律 且拥有幺元，则称<M，⊙>为独异点或含幺半群或拟群。
例7.4 给定<N，+>和<N，*>，其中N是自然数集合，+和*为一般意义下的 加法和乘法。易知<N，+>和<N，*>都是半群，而且还是独异点。因为0是
例7.7 令半群<S，*>，其中S={a，b，c，d}，*定义如表7.1，试证明生成集 G={a，b}。 * a b c d A D B C A b c b c b c b b c c d a b c d
7.1 半群
定义7.5 ：给定半群<S，⊙>及非空集合T⊆S，若T对⊙封闭，则称<T，⊙> 为<S，⊙>的子半群。
7.1 半群
定理7.1 ：若半群<S，⊙>和半群<T，>是可交换的，则<S×T，>也是可 交换的。
定理7.2 ：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且e1 和 e2分别是他们的幺元， 则积半群<S×T>含有幺元 <e1 ,e2> 。
7.1 半群
定理7.3：给定半群<S，⊙>和半群<T，>，且 的零元，则积半群<S×T>含有零元 和 分别是他们
，并且X中其余元素保持不变，则称p
由轮换的定义可知，轮换中任何元素均可排在首位，他们表示是同一 个轮换，如（ ）=（ ）。
例7.20 令S={1，2，3，4，5}，S上的5阶置换p= 换（1 2 4）。
是S上的3阶轮
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7.2 群
定义 7.10： 集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数，称为 集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。 集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统是一个群， 称为对称群。 由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合 ◇构成群< 若 ，◇>，它便是n次n!阶对称群。 ，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换群。 与复合置换运算