函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等
方法，求展开式。

∙基本公式：).,( ,)!12()1(sin ).
,( , !).1,1( 1101
200
+∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞
=x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x
=由于令注意到解 . ln , ln a x u e
a a x x ==).,( ,!
1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n
x 代入上式得
将 ln a x u =
++-+-+-=+)!
12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n ,
),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得
+-+-+-=)!
2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、.
的幂级数展开成将下列函数x ∑⎰⎰
∞
=-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则).
1,1( ,1
)1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0
-∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
, 1 , 1 1)1( 10发散在收敛在由于级数-==+-+∞=∑x x x n n n n
故
处连续在且函数 , 1 )1ln()(=+=x x x f ,)1(3121)1ln(132 +-+-+-=+-n x x x x x n
n ].
1,1(-∈x 板书
⎰+=x
t
dt x 021arctan ,1
2)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ]
1,1[-∈x 由逐项求积得
同 , )1( )2(板书
三、其它函数展开成幂级数例4、. 1 41)( 处展开成泰勒级数在将=--=x x x x f 31
1131)1(3141:--⋅=--=-x x x 解])3
1()31(311[312 +-++-+-+=n x x x .31<-x ,3
)1(3)1(3)1(311322 +-++-+-+=+n n
x x x 板书
四、小结：常用已知和函数的幂级数;11)1(0x x n n -=∑∞=;11)1()2(202x x n n n +=-∑∞=;
!
)3(0x n n
e n x =∑∞=).1ln(1)1()5(01x n x n n n +=+-∑∞=+;sin )!12()1()4(012x n x n n n =+-∑∞=+。