2014届高三数学（文）第一轮45分钟滚动基础训练卷15（第56
讲 算法与程序框图 第60讲直接证明与间接证明）
(考查范围：第56讲～第60讲 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )·z ＝( )
A ．1＋3i
B ．3＋3i
C ．3－i
D ．3
2．如图G15－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )
A ．0.5
B ．1
C ．2
D ．4
3．设z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z 2＋2z
＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i
C ．1＋i
D ．1－i
4．输入x ＝5，运行下面的程序之后得到y 等于( )
Input x
If x <0 Then
y ＝(x ＋1)*(x ＋1)
Else
y ＝(x －1)*(x －1)
End If
输出y
A ．16
B ．36
C ．18
D ．38
5．函数f (x )
若a 0＝5，a n ＋1＝f (a n ) 2 012A ．4 B ．5
C ．1
D ．2
6．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i
为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2
C ．－12 D.12
7．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74
，…，则可归纳出式子为( ) A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1
B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1
C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n
D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1
8．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；
②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ， b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．设平面内有n 条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________．
10．[2012·豫南模拟] 复数3－i i ＋2
的虚部为________． 11．[2012·厦门质检] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝π
r 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积) S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43
πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．根据下面的程序写出相应的算法，并画出相应的程序框图．
S ＝1
n ＝1
Do
S ＝S *n
n ＝n ＋1
Loop While S <1 000
输出n
13．请你把“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 2
2a 1
≥a 1＋a 2”推广到多个正实数的情形，并证明你的结论．
14．若下列方程：x 2－4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，至少有
一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．
45分钟滚动基础训练卷(十五)
1．A [解析] ∵z ＝1＋i ，∴(1＋z )·z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.
2．C [解析] 当x ＝－4时，x ＝|x －3|＝7；当x ＝7时，x ＝|x －3|＝4；当x ＝4时，x ＝|x －3|＝1<3，∴y ＝2.
3．D [解析] z 2＝(1－i)2＝－2i ，所以z 2＋2z ＝－2i ＋21－i ＝－2i ＋2（1＋i ）2
＝1－i.故选D.
4．A [解析] ∵5>0，∴y ＝(5－1)×(5－1)＝16.故选A.
5．B [解析] a 0＝5，a 1＝2，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝5，…，∴a n ＋4＝a n ，a 2 012＝a 0＝5.
6．A [解析] 法一：1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）·（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（2a ＋1）i 5
为纯虚数，所以⎩
⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，解得a ＝2. 法二：1＋a i 2－i ＝i （a －i ）2－i
为纯虚数，所以a ＝2.答案为A. 7．C [解析] 用n ＝2代入选项判断．
8．B [解析] 由复数和有理数、无理数的有关知识得，类比结论正确的为①②，故选
B.
9．5 12
(n ＋1)(n －2) [解析] 画图可得f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，f (6)＝14，所以f (n )－f (n －1)＝n －1.
∴f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝（2＋n －1）（n －2）2
＝12
(n ＋1)(n －2)． 10．－1 [解析] 3－i i ＋2＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝5－5i 5
＝1－i ，所以虚部为－1. 11．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以W ＝2πr 4.
12．解：第一步，对S ，n 赋予初始值1；
第二步，判断S <1 000是否成立，若成立，执行第三步；否则执行第五步； 第三步，S ＝S ×n ；
第四步，n ＝n ＋1，返回第二步；
第五步，跳出循环，输出n 值；
程序框图如下图所示．
13．解：推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，
则有a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2
n
a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n .
证明：∵a 1，a 2，…，a n 都是正实数，
∴a 2
1
a 2＋a 2≥2a 1，a 2
2
a 3
＋a 3≥2a 2，…
a 2
n －1
a n ＋a n ≥2a n －1，a 2
n
a 1
＋a 1≥2a n ，
∴a 21
a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2
n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n .
14．解：设三个方程均无实根，
则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2
－4（－4a ＋3
）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2
<0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）<0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
－32<a <12，a <－1或a >13，
－2<a <0，
即－32<a <－
1.
所以当a ≥－1或a ≤－错误!时，三个方程中至少有一个方程有实根．。