4
x3
由于 A 2 0 , 故 A 可逆，因此 x A1b ,
其中
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3 , 3
22
23
A13 3
2, 4
A21 4
6, 3
15
13
12
2
A22 3 3 6 , A23 3 4 2 , A31 2
13
12
A32 2
1 5 , A33 2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A(A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2(A 2E) 2A(A 2E) 3(A 2E) 8E 0
逆矩阵的问题。
代数方程 a x b 的解 x a1b
问矩阵方程 AX B 的解是否为 X A1B ? 若可以，那么 A1 的含义是什么呢？
3
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作B A1 .
A21 a12 ,
所以
A*
a22 a12
a21
a11
8
定理2.1 AA A A A E.
a11
证明：AA*
an1
a1n A11
ann A1n
An1
Ann
a11 A11
an1 A11
a1n A1n ann A1n
a11 An1 an1 An1
(A
B)
3
1
6
1
3
4
2 0 5 2 0 5
1 0 0 11 5 50
0 1 0 10
0
40
(E
A1B)
0 0 1 4 2 19
27
0
例10 设 A 1
1 1
2 1 4，B 1
，A
1
2X
A
B，
2 1 3
求X。
1 A1 1 A* A
解 A1 2X A B ， A1 2X A A BA ，
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
22
例7 求下列矩阵的逆矩阵
1 0 1 1. A 2 1 0
3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
(A
E)
2
1
0
0
1
0
3 2 5 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
343
4 43
123
12
D2 2 1 1 20 , D3 2 2
343
34
于是有 x1 9 , x2 10 , x3 3 .
2 1 6 , 4
14
方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中
1 2 3 2 x1
A
2
2
1
,
b
1
,
x
Hale Waihona Puke x2.3 4 3
1
am1x1 am2x2 amn xn bm
a11
a21
a12
a22
a1n
a2
n
x1 b1
x2
b2
am1
am2
amn
mn
xn
bm
AX B
（2）
2
则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，
而后者即求 AX B 中未知矩阵X的问题。这需要用到
4、 秩（A）= 秩( Ai ) i 1
A11
5、Ai 可逆时，则A可逆，且
A1
A21
As1
34
： 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是它能表示
成一些初等矩阵的乘积： A p1 p2 ps
定理5 设A，B是 m n 矩阵，则以下三个条件等价 （1） A与B等价； (2) R(A) R(B)
(3) 存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q ，使
B PAQ
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
0
0 1
0
56
2 3
1 6
7 12
1 6
112
5 12
1 6
A1
1 12
1 12
5 10
7
2 8 2
1 2 1
~
0
1
0
56
2 3
1 6
0
0
1
7 12
1 6
1 12
24
1 3 4 1 0 0
解2
(B
E)
2
2
0
0
1
0
3 4 7 0 0 1
1 3 4 1 0 0 ~ 0 8 8 2 1 0
又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 . 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 因为 AB = BA = E . 所以 B 是 A 的一个逆矩阵。
4
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
(4) ( AT )1 ( A1 )T .
证明 只证 (3) 和 (4) .
(3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1
= E. (4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E,
6
矩阵可逆的条件： a11 a12
定义
设 矩阵
A
a21
( A 2E)1 1 ( A E) 2
30
例13 设A3 9E 0，求(A 2E)1及(A E)1
A3 8E E，(A 2E)( A2 2A 4E2 ) E
(A 2E)1 A2 2AE 4E2 A3 E 8E， ( A E) 1 ( A2 A E) E
( A E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(
A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6
B
1 2
4 8
1 0 1
1 2
2
2
3 2
1 6 1
1
4
3
8
1 2
4 8
1 2 1
1
2
.
5
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
2 , 2
于是
2 6 4
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 2
5 2
,
2 6 4 2 9
x
1 2
3 2
6 2
5 2
1 4
10 3
.
3 4 ,
1
16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 .
第六节
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
A1 2X A E BA，
，
A1 2X BA ， X 1 ( A1 BA) 2
A
E
0 1
1 1
2 4
1 0 0 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 5
5 4
2 2
2 1 3 0 0 1 0 0 1 3 2 1
28
X 1 ( A1 BA) 2
A 1
7 5
5 4
19
例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且 A 3 , 求 3 A1 1 A .
3 解 由于 AA A E , 故 A A A1 ,于是
3 A1 1 A 3 A1 1 A A1
3
3
3A1 A1
2A1 23 A1
23
1 A
8. 3
20
例6
设P 11
42，
1 0
0 2
，AP
(A2 2A 3E)(A 2E) 8E
1 ( A2 2A 3E)(A 2E) E
(
A
8 2E)
可逆，
且
(
A
2E)1
1
(
A2
2
A
3E)
8
32
例15
设A,B分别是m阶,
n阶可逆矩阵，D
A C
A0
0 B
，求
D 1
。
解 D
AB
D
CB 0，D可逆，设
D 1
X X
11 21
X X
12 22
0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0