n2
n (x x)2
x0为给定值。
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（1）
例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。
数据序号
x
1
1.5
2
1.8
3
2.4
4
3.0
5
3.5
6
3.9
7
4.4
8
4.8
9
5.0
合计
30.3
y
x2
y2
xy
4.8
2.25
23.04
7.20
5.7
3.24
32.49 10.26
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（5）
根据上表数据以及t统计量的计算公式有：
S b
( y y ) 2
(n 2) (x x)2
2.03 0.1488 (9 2) 13 .1
t b 2.9303 19 .692 S b 0.1488
取 α 0.05
t (n 2) t 0.025 (7 ) 2.365
由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需 要确定预测值的有效区间，即置信区间。
一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：
置信区 间:
[ y t (n 2) • S ( y) ，y t (n 2) • S ( y)]
2
2
其中
S ( y)
( y y ) 2 •
1 1
(x0 x)2
t检验
t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。
9.2.2 预测模型检验（相关系数检验）
相关系数的计算公式是：
r
( x x )( y y )
(x x)2 (y y)2
或者写成
r
xy
1 n
x
y
x2
1 n
(
x)2
y2
1 n
(
y)2
另一个来自于方差分析的相关系数的计算公式是：
2
即有
t 19 .692 t 0.025 (7 ) 线性相关成立。
7.0
5.76
49.00 16.80
8.3
9.00
68.89 24.90
10.9
12.25 118.81 38.15
12.4
15.21 153.76 48.36
13.1
19.36 171.61 57.64
13.6
23.04 184.96 65.28
15.3
25.00 234.09 76.50
91.1
9.2 一元线性回归预测
一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进 行的线性相关关系的回归预测。
一元线性回归的基本步骤如下：
第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系； 第二步：估计参数，建立一元线性回归预测模型； 第三步：对预测模型进行检验； 第四步：计算与确定置信区间。
9.2.1 建立一元线性回归预测模型
在回归预测中，预测对象称为因变量，相关的分析对象 称为自变量。
回归分析根据自变量的多少分为一元回归分析、二元回 归分析与多元回归分析，但有时候二元回归分析被并入 到多元回归分析之中；回归分析根据回归关系可分为线 性回归分析与非线性回归分析。
9.1 回归预测概述（2）
回归分析的基本步骤如下： 第一步：判断变量之间是否存在有相关关系 第二步：确定因变量与自变量 第三步：建立回归预测模型 第四步：对回归预测模型进行评价 第五步：利用回归模型进行预测，分析评价预测值
r 1(yy)2 (y y)2
9.2.2 预测模型检验（t检验）
t检验使用的统计量计算公式是：
t b Sb
其中
( y y ) 2 S b ( n 2 ) ( x x ) 2
取 α 0 .05
当有 t t ( n 2 )
2
线性相关成立。反之则
不成立。
9.2.3 计算与确定置信区间
115.11 1036.65 345.09
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（2）
根据前表可知：
b nxyxy 9345.0930.391.1 2.9303
nx2 (x)2
9115.1130.32
a y bx 91.12.930330.3 0.2579
9
9
所以有
y abx 0.25792.9303x
章回归预测
什么是回归预测
回归预测的常用方法
一元线性回归
一元非线性回归
二元线性回归
9.1 回归预测概述（1）
回归预测以因果关系为前提，应用统计方法寻找一个适 当的回归模型，对未来市场的变化进行预测。
回归分析具有比较严密的理论基础和成熟的计算分析方 法；回归预测是回归分析在预测中的具体运用。
0.72
0.28
7
4.4 13.1 13.15 1.03 -0.05
1.06
8
4.8 13.6 14.32 1.43 -0.72
2.04
9
5.0 15.3 14.91 1.63
0.39
2.66
合计
13.1
(yy)2 0.02 0.03 0.08 0.56 0.15 0.52 0.00 0.52 0.15 2.03
1
1.5 4.8 4.65 -1.87 0.15
3.50
2
1.8 5.7 5.53 -1.57 0.17
2.46
3
2.4 7.0 7.29 -0.97 -0.29
0.94
4
3.0 8.3 9.05 -0.37 -0.75
0.14
5
3.5 10.9 10.51 0.13
0.39
0.02
6
3.9 12.4 11.68 0.53
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（3）
相关系数检验。
根据前表数据以及相关系数计算公式可知本例为显著线性相关。
r
xy
1 n
x
y
x2
1 n
(
x)2
y2
1 n
(
y)2
345 . 09 1 30 . 3 91 . 1
9
115 . 11 1 30 . 3 2 1036 . 65 9911
查表得
r ( n 2 ) r 0 . 05 ( 9 2 ) r 0 . 05 ( 7 ) 0 . 666 即有
r r 0 . 05 ( 7 )
9.2.4 一元线性回归预测案例研究（4）
t检验。t检验的分析计算表如下：
数据序号 x
y
y xx yy (x x)2
一元线性回归预测的基本模型如下：
y a bx 其中
b
n xy x y n x2 ( x)2
xy x2
x y xx
a y bx
9.2.2 预测模型检验
相关系数检验
相关系数是描述两个变量之间线性关系能密切程度的数量指标。相 关系数r的取值范围是[-1，1]。若r=1则说明完全正相关，若r=-1则 说明完全负相关；r=0说明不相关；r的值在（0，1）之间则正相关， 在（-1，0）之间则为负相关。