多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:14)23(lim 1
2=+→→y x y x 。

2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）y
x y
x y x f +-=),(；
(2) y
x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=；
(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
(4) x
y y x f 1
s i n ),(=。

3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； （4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。

4. 试证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。

1. 用极限定义证明:14)23(lim 2
1
2=+→→y x y x 。

因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2
2
-+-=-+y x y x
|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-<y x
0>∀ε，要使不等式
ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2
y x y x 成立 取}1,30
min{
ε
δ=，于是
0>∀ε， 0}1,30
min{
>=∃ε
δ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x
且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2
y x ，即证。

2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）y
x y
x y x f +-=
),(； 1lim
lim 00=+-→→y x y x y x ， 1l i m l i m 00-=+-→→y
x y
x x y ，
二重极限不存在。

或 0l i m 0=+-=→y x y x x
y x ， 3
1l i m 20-=+-=→y x y x x
y x 。

(2) y
x y x y x f 1sin 1sin
)(),(+=； |||||1
sin 1sin
)(|0y x y
x y x +≤+≤ 可以证明 0|)||(|lim 0
0=+→→y x y x 所以 0),(lim 0
=→→y x f y x 。

当πk x 1≠
，0→y 时，y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(+=极限不存在， 因此 y
x y x y x 1
s i n 1s i n )(lim lim 00+→→不存在，
同理 y
x y x x y 1s i n 1
s i n )(lim lim 0
0+→→不存在。

(3) y
x y x y x f ++=23
3),(；
02lim ),(lim 23
00=+=→=→x
x x y x f x x
y x ， 当 P(x, y )沿着3
2x x y +-=趋于（0,0）时有
1)(lim ),(lim
2
323
23303
20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ，
所以 ),(lim 0
0y x f y x →→不存在；
0),(lim lim 0
0=→→y x f y x ， 0),(lim lim 0
0=→→y x f x y 。

(4) x
y y x f 1sin
),(= |||1
sin
|0y x
y ≤≤ ∴ 0),(lim 0
0=→→y x f y x ，
01s i n lim lim 00=→→x y y x ， x
y x y 1
s i n l i m l i m 00→→不存在。

3. 求极限 （1）2
20
)
(lim 22
y x x y x y +→→；
|)ln(|4
)(|)ln(|0222
222
2
2
2y x y x y x y x ++≤+≤，
又 0ln 4lim )ln(4
)(lim
2
0222220
0==+++→→→t t
y x y x t y x ， ∴ 1)
(lim )22ln(22)
0,0(),(lim 2
222
==++→→→y x y x y x y x y x e
y x 。

（2）1
1lim
2
2
220
0-+++→→y x y x y x ；
211)11)((lim 11lim 2222220
0222
200=-++++++=-+++→→→→y x y x y x y x y x y x
y x 。

（3）2
20
01
sin
)(lim y
x y x y x ++→→； |||1
sin )(|2
2y x y
x y x +≤++， 而 0)(l i m 0
=+→→y x y x
故 01
s i n )(lim 220
0=++→→y x y x y x 。

（4）22220
0)
sin(lim y x y x y x ++→→。

令θcos r x =，θsin r y =， )0,0(),(→y x 时，0→r ，
1sin lim )sin(lim 22
022220
0==++→→→r r y x y x r y x 。

4. 试证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0
0)1ln(),(x y x x
xy y x f 在其定义域上是连续的。

证明：显然f (x , y )的定义域是xy >-1.
当0≠x 时，f (x , y )是连续的， 只需证明其作为二元函数在y 轴的每一点上连续。

以下分两种情况讨论。

（1） 在原点（0,0）处
f (0, 0)=0, 当0≠x 时
⎪⎩
⎪⎨
⎧≠+==+=0
)1ln(0
0)1ln(),(1y xy y y x xy y x f xy ,
由于 1)
1l n (lim 10
=+→→xy
y x xy
不妨设 1|1)1
l n (|1
<-+xy
xy ， 2|)1l n (|1<+xy
xy ，
从而 0>∀ε， 取2
ε
δ=，当δδ<<<<||0,||0y x 时，
|)1ln(||0)
1ln(|
1xy
xy y x
xy +=-+
ε<≤+≤||2|)1ln(|||1y xy y xy
，
于是，无论0,0≠=x x ，当δδ<<||,||y x 时，都有 )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→
（2）
（3） 在),0(y 处。

（)0≠y
当0≠x 时， |)
1ln(||),0(),(|1
y xy y y f y x f xy
-+=-
|)()1)1
(l n (|1y y xy y xy
-+-+=
|||1)1ln(|||1
y y xy y xy
-+-+≤
当x=0时, |||),0(),(|y y y f y x f -=-,
注意到，当0≠y 时 1)
1l n (lim 10
=+→→xy
y
y x xy ，
于是，无论0,0≠=x x ， 当0≠y 时 0|),0(),(|lim 0=-→→y f y x f y
y x ，
即 f (x , y )在在),0(y 处连续， 综上，f (x , y )在其定义域上连续。