σx E1 i 2 0 x
σx 1 1 i E2 2 2 2 0 x R x σx ∴ E E1 E2 i 2 0 R 2 x 2
该点电势为：
P O x
U
0
x
2 0
R R2 x2 R 2 x 2 2 0
Q Q U 4 0 r体密度分布为：
qr (r≤R) (q为一正的常量) 4 πR 0 ( r R)
试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势。 4、一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀 带电，电荷面密度为σ。如图所示，试求通过小孔中心O并与平面 垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)。
1、半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q。设无穷远处电势为零， 则该带电体所产生的电场的电势U，随离球心的距离r变化的分布曲 线为 ［A ］
U U∝1/r O R (A) r O R (B) U U∝1/r r O R (C) U U∝1/r r O R (D) U U∝1/r2 r O R (E) U U∝1/r2 r
（ 1）球的电势U1 1

R
R1 E dr
R
q q qQ （ - ） 4 0 R R1 R2 qQ 球壳电势U 2 EIII dr R2 4 0 R2
qQ dr dr 2 2 R2 4 r 4 0 r 0 q
4r12 E1
1
0

r1
0
4 qr qr 2 1 4 r d r R 4 0 R4
2 qr 1 得： E 1 4 0 R 4
(r1≤R)， E1 方向沿半径向外
在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理：
得： E 2
q
4 0 r22
(r2 >R)， E 2 方向沿半径向外
4r22 E2 q / 0
(3) 球内电势：
U1
R
r1
R E1 d r E2 d r
R
qr 2 q dr dr 4 2 r 1 4 R R 4 r 0 0
3 3 qr r q 1 1 4 3 4 12 0 R R 3 0 R 12 0 R
xd x


5、 半径为R的导体球，放在内、外半径为R1和R2的同心导体球壳 内，若球和球壳分别带电q和Q。 试求： （1）球和球壳的电势； （2）若用导线将球和球壳连接， 此时它们的电势又为多少？
R2 R1
R O
5、解：由于静电感应，球壳内表面带电 q， 外表面带电q Q，利用高斯定理求出场强分布 q ˆ (R r R1 ) EI 4 r 2 r 0 (R1 r R 2 ) EII 0 qQ ˆ E r (r R ) III 2 2 4 r 0

（2）当用导线将球和球壳连接后，两者 成为一个导体，则电荷q Q全部分布在 球壳外表面，且两者电势相等，此时： qQ U1 U 2 E dr R2 4 0 R2
2、如图，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电 势为零，则球内距离球心为r的P点处的场强的大小和电势为 ［ B ］
(A) E=0，U (C) E (D) E
Q 4 0 r
U (B) E=0，
Q 4 0 R
Q O R r P
Q 4 0 r 2
U
Q 4 0 r
q
r1 R
球外电势：
U2
R
r2
E2 d r
r2
q dr 2 4 0 r 4 0 r2
q
r2 R
4、解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的“无限大”平面和面 密度为-σ的圆盘叠加的结果。选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆 盘中心，大平面在x处产生的场强为 圆盘在该处的场强为
R O

3、解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为： dq = dV = qr 4r2dr/(R4) = 4qr3dr/R4 则球体所带的总电荷为：
Q d V 4q / R
V

4
r
r 0
3
dr q
(2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有：