2.2 对数函数[学习目标]1．理解对数的概念及其运算性质．2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用．4．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．5．能借助计算器或计算机画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．6．知道对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数（0>a ，且1≠a ）． [学习要求]本节内容是在学习了指数函数之后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，明确本节课要学习的问题——对数问题．学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数．在学习对数定义时，要注意以下几点：一是要弄清楚对数式b N a =log （0>a ，且1≠a ）的含义，明确a ，N ，b ，相对于指数式N a b=是什么数，并找出它们之间是什么关系．二是要注意对数式b N a =log 中字母的取值范围，要清楚对数定义中为什么要规定0>a ，且1≠a ，0>N ．对数的运算性质是进行对数计算的重要依据，要理解其推导过程．学习过程中应充分发挥对数函数图象的作用，要做到自己动手做出对数函数的图象．会根据图象讨论对数函数的性质．[学习重点] 对数函数的概念、图象和性质． [课时安排] 6课时第一课时2.2.1对数与对数运算（1）——对数新课导入回顾2.1.2指数函数一节中的例8，把我国1999年底人口13亿作为基数，如果人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数y 最多为多少？我们算出经过年数x 与人口数y 满足关系x y 01.113⨯=中，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿”？该如何解决？分析：人口数达到18亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11318=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到20亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11320=，需要从中求出经过年数x ；人口数达到30亿时，是1999年底 13亿人口的x 01.11330=，需要从中求出经过年数x ；一般地，需要从N x=01.1中求出经过年数x ．这是我们这一节将要学习的对数问题．新课进展 一、对数 1．定义一般地，如果N a x=（0>a ，且1≠a ），那么数x 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．x 01.11318=，其中x 就是以 1.01为底1318的对数，记作1318log 01.1=x ；请同学们写出x 01.11320=，x 01.11330=中的x ． 问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作216log 4=；同样从对数的定义出发，可写成1642=．我们从一般的角度来考虑这个问题，根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：当0>a ，且1≠a 时，如果N a x =，那么N x a log =；如果N x a log =，那么N a x=．即N a x =等价于N x a log =，记作当0>a ，且1≠a 时，N a x =⇔N x a log =．当0>a ，且1≠a 时，计算：1log a ，a a log ． 分析：利用对数和指数间的关系． 由于0>=N a x，所以： 负数和零没有对数． 2．常用对数和自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并且把N 10log 记作N lg ． 在科学技术中常使用以无理数 597182818284.2=e 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm ），并且把N e log 记作N ln ．3．课堂例题例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：例2 求下列各式中x 的值4．课堂练习1. 把下列指数式写成对数式：2. 把下列对数式写成指数式：5．布置作业 课本第74页习题2.2.A 组1 、2．;6412)2(;6255)1(64==-;416log )4(;73.531)3(21-==⎪⎭⎫⎝⎛m.303.210ln )6(;201.0lg )5(=-=;32log )1(64-=x ;68log )2(=x .ln )4(;100lg )3(2x e x =-=.322)2(;82)1(53==.4841log )2(;241log )1(32-=-=第二课时2.2.1对数与对数运算（2）——对数的运算复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：你如何理解对数？答：从运算的角度，对数运算可以看成是指数运算的逆运算．因此，对数式和指数式的互化在对数学习过程中很重要．当0>a ，且1≠a 时，N a x=⇔N x a log =，即x a x a =log ．新课进展通过师生探究，学习本节主要内容问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？ 回顾指数幂的运算性质：n m n m a a a +=⋅，n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(．师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设ma M =，na N =，于是有mn n n m n m a M a NMa MN ===-+,,．n N m M a a ==log ,log ． 根据对数的定义有：n m a n m a +=+log ，n m a n m a -=-log ，mn a m n a =log ． 于是有二、对数的运算（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅； （2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a n a log log =（R n ∈）． 课堂例题例1 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式：.log )2(;log )1(32zyx zxy aa例2 求下列各式的值课堂练习1. 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式2. 求下列各式的值：3. 求下列各式的值：布置作业 课本第74页习题2.2A 组第3、4、5题．第三课时2.2.1对数与对数运算（3）——对数的换底公式复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述． 答：（1）积的对数等于同底对数的和； （2）商的对数等于同底对数的差； （3）n 次幂的对数等于同底对数的n 倍； 即：（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅；.100lg )2();24(log )1(5572⨯;lg )2();lg()1(2z xy xyz .lg )4(;lg )3(22zy xzxy ;100lg )2();927(log )1(223⨯.ln )4(;00001.0lg )3(e ;2lg 5lg )2(;3log 6log )1(22+-.15log 5log )4(;31log 3log )3(3355-+（2）N M NMa a alog log log -=； （3）M n M a n a log log =（R n ∈）． 新课进展三、对数的换底公式问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e 为底的对数？把问题一般化，能否把以a 为底转化为以c 为底？师生共同探究：设p b a =log ，则b a p=，对此等式两边取以c 为底的对数，得到：b ac p c log log =，根据对数的性质，有：b a p c c log log =，所以abp c c log log =．即abb c c a log log log =．其中0>a ，且1≠a ，0>c ，且1≠c ． 公式abb c c a log log log =称为换底公式． 用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算1318log 01.1=x 的值，利用换底公式和对数的运算性质，可得： 01.1lg 13lg 18lg 01.1lg 1318lg1318log 01.1-===x 338837.320043.01139.12553.1≈=-≈（年） 课堂例题例1 （课本第66页例5） 例2 （课本第67页例6）本例题根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系P t 573021log=，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数．课堂练习利用对数的换底公式化简下列各式：布置作业 课本第74页习题2.2A 组4（1）——（4）、5（1）——(4)、6题．第四课时2.2.2对数函数及其性质（1）情景问题导入 1．课堂练习课本第74页习题2.2A 组第6题．2．上节课的例题，考古学家通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物测定碳14含量P ，估算出土文物或古遗址地年代t ，即P t 573021log=．一、对数函数的定义一般地，我们把函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmicfunction ），其中x 是自变量，函数的定义域是(0)∞，+．我们类比指数函数xy a=(0,1)a a >≠且图象与性质，来研究对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且的图象和性质．二、对数函数的图象在同一坐标系中画出对数函数x y 2log =和x y 21log =的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．（图及表格见课本第70页）讨论：函数x y 2log =和x y 21log =的图象之间的关系．x x y 221log log -==，又点),(y x 和点),(y x -关于x 轴对称，所以，x y 2log =和x y 21log =的图象关于x 轴对称．;2log 5log 4log 3log )2(5432⋅⋅⋅).2log 2)(log 3log 3)(log 3(9384++思考 函数x y a log =与x y a1log =(0a >，且1)a ≠的图象有什么关系？三、对数函数的性质一般地，对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且的图象和性质如下表所示．课堂例题例1 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=． 例2 比较下列各组数中两个值的大小： （1）5.8log ,4.3log 22==y y ； （2）8.1log 3.0=y ，7.2log 3.0=y ；（3）1.5log a y =，9.5log a y = (a>0,且a ≠1).该两例是巩固对数函数的概念，利用单调性比较对数式的大小．课堂练习2. 求下列函数的定义域3. 比较下列各题中两个值的大小：布置作业 课本第74页习题2.2A 组第7、8、9题．第五课时2.2.2对数函数及其性质（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容． 问：我们是怎样研究对数函数的？投影出一般的对数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点． 新课进展四、对数函数的应用 课堂例题例1 （课本第72页例9）利用对数函数，解决溶液酸碱度pH 值得测量问题，体会对数函数的应用价值． 例2 （课本第75页习题2.2A 组第12题）.log log .1313相同点和不同点并且说明这两个函数的的图象，及画出函数x y x y ==;log 1)2();1(log )1(25xy x y =-=.log )4(;311log )3(37x y xy =-=.4.1log ,6.1log )4(;6.0log ,5.0log )3(5.15.13232.4log ,6log )2(;8log ,6log )1(5.05.01010学习用数学的观点处理现实问题的方法，进一步引导学生体会对数函数的应用价值． 例3 （课本第75页习题2.2B 组第3题） 体会对数函数应用的广泛性．课堂练习 课本第75页习题2.2A 组第12题． 布置作业 课本第82页复习参考题A 组第9题． 课本第83页复习参考题B 组第5题．第六课时2.2.2对数函数及其性质（3）——对数函数与指数函数的关系问题导入问：在指数函数xy 2=中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．通过对问题的讨论，形成反函数的概念．通过摄氏温度与华氏温度的换算，进一步明确反函数的概念．在指数函数2xy =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子2log x y =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，我们就把2log x y = ((0))y ∈∞，+称为函数2xy =()x ∈R 的反函数（inverse function ）．在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数．但习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数．为此，我们把函数2log x y =中的字母x ，y 交换，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈∞，+是指数函数2xy =x ∈R 的反函数．课堂讨论1．如何说明指数函数x a y =(0,1)a a >≠且与对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域有什么关系？3．互为反函数的这两个函数的图象有什么关系？答案提示：1．在指数函数x a y =中，x 是自变量，定义域是x ∈R ，y 是x 的函数，且值域(0)y ∈∞，+．根据指数与对数的关系，由指数式x a y =可得到对数式y x a log =，这样，对于任意一个(0)y ∈∞，+，通过式子y x a log =，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时，y x a log = ((0))y ∈∞，+就为指数函数x a y =的反函数，把自变量用x 表示，因变量用y 表示，则对数函数x y a log =就是指数函数x a y =的反函数(0,1)a a >≠且．反之，也可类似说明对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且是指数函数x a y =(0,1)a a >≠且的反函数．2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域恰好互换，例如2xy =的定义域为实数集R ，值域为),0(+∞，2x y =的反函数的定义域为),0(+∞，值域为实数集R ．3．在同一个直角坐标系中，互为反函数的函数图象关于直线x y =对称．说明：作为探究与发现，教材只要求学生了解指数函数x a y =和对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且互为反函数．对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．课堂例题例1 求下列函数的反函数：（1）xy )31(=； （2）x y 5log =．解：（1）xy )31(=的反函数为),0(,log 31+∞∈=x x y ．（2）函数x y 5log =的反函数为R x y x ∈=,5． 课堂练习写出下列函数的反函数：（1）x y 4log =； （2）x y 41log =．本课小结1．对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数x a y =互为反函数．2．对数函数x y a log =与同底的指数函数x a y =的性质相互对应． 布置作业1．根据对数函数x y a log =(0,1)a a >≠且与同底的指数函数x a y =互为反函数的关系，列出指数函数与对数函数的对照表．2．课本第82页复习参考题A 组第8题．。