R(n) = X(n)－ X(1)称为样本极差 中位数、分位数、四分位数都是次序统计量。
6. 1 统计量
6.1.4 充分统计量 在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的
信息一点都不损失地提取出来，则对以后的统计推断质量 具有重要意义。 在统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为 充分统计量。 因子分解定理是判别充分统计量的方法，由奈曼和哈尔姆 斯在20世纪40年代提出的。
统计学第六版贾俊平第6章 PPT
第6章 统计量及其抽样分布
本章将较系统地介绍统计量的概念，以正态 分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出 一些常用统计量的抽样分布。
第6章 统计量及其抽样分布
6.1 统计量 6.2 关于分布的几个概念 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5 样本比例的分布 6.6 两个样本均值之差的分布 6.7 关于样本方差的分布
称 3为样本偏度 。
n
n ( X i X )4
(7) 4
i1 n
3,
[ ( X i X )2 ]2
i1
称 4为样本峰度 。
6. 1 统计量
6. 1. 3 次序统计量
定义6.2 设（X1，X2，…Xn）是从总体X中抽取的一个样 本,X(i)称为第i个次序统计量,它是样本（X1，X2，…Xn） 满足如下条件的函数： 每当样本得到一组观测值x1， x2，…,xn时，其由小到大的排序x(1)≤ x(2)≤ …≤x(i) ≤ … ≤ x(n) 中，第i个值x(i)就作为次序统计量X(i)的观测值， X(1), X(2) …X(n)称为次序统计量。其中X(1)和X(n)分别 为最小和最大次序统计量 。
❖对于T(X1，X2，…Xn), 也称样本统计量。当获得 样本的一组具体观测值x1，x2，…xn时，代入T， 就是一个具体的统计量值T(x1，x2，…xn) 。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
6. 1 统计量
【例6 .1 】 设X1, X2,, Xn是从总体X中抽取的个一样本，则
X
1 n
•定义：在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n,
都能导出统计量T(X1,X2, …,Xn)的分布的数学表达式, 这种分布称为精确的抽样分布。
•精确的抽样分布大多是在正态总体的情况下得到的。 在正态总体条件下主要有 χ 2分布、t分布和F分布，常 称为统计的三大分布。
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布；
第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布；
不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.3 随机模拟获得的近似分布 1.背景 2.思想 ❖ 设有一个统计量T(X1，X2，…Xn)，其中n为样本容量，
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
布的极限分布就
2 是正态分布。
不同容量样本的卡方分布
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2分 布 的 性 质 1 . 数 学 期 望 为 ：2)E(n 2 . 方 差 为 ：D2)( 2 n 3 .2分 布 的 可 加 性 ， 即12 ~若2( n 1 ),22 ~ 2( n 2 ) , 且独立，则
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
•近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
。
( 2 )S 2
1 n
n
(Xi
i1
X )2 是样本方差
。
(3)V S 是样本的离散系数 。 X
(4 )m k
1 n
n i1
X
k，
i
称 m k为样本
k阶矩
。
(5)v k
1 n
n
(Xi
i1
X)k，
称为样本
k阶中心矩
。
n
n ( X i X )3
(6) 3
i13,n i1(XiX )2
2
求统计量T的分布函数F(n)(t)； ❖ 可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中抽
取容量为n的样本，然后计算其统计量的值； ❖ 当这种试验进行了N次时，就得到统计量T的N个观测
值：T1，T2，…，TN； ❖ 根据这N个观测值可做其经验分布函数FN(n)(t)的一个
很好的近似。
6.3 由正态分布得到的几个 重要分布
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数；
根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性
质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着
非常重要的地位。
6. 1 统计量
❖定义6.1 设X1，X2，…Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1，X2，…Xn)，不依赖于任何未知参数，则称 函数 T(X1，X2，…Xn)是一个统计量。
n i1
Xi
S2
1 n 1
n
( Xi
i1
X）2
n
都是统计量，而 [(Xi E(X）2],[(Xi E(X）]/D(X都) i1
不 是 统 计 量 ， 主 要 是为因其 中 含 有 依 赖 于 总的体未 知
参数。
6. 1 统计量
6.2.2 常用统计量（当n充分大时）
(1) X
1 n
n i1
X i是样本的均值
6. 1 统计量
充分统计量（算例）
【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质 检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除了前3个是 不合格品（记为X1=1, X2=1, X3=1）外，其他都是合格 品（记为Xi=0, i=4,5,…,100）。当企业领导问及抽检结 果时，质检员给出如下回答：
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
6. 3. 1 2 分布
定义6.3 设随机变量X1，X2，…Xn相互独立, 且Xi (i=1,2,…,n)
n
服从标准正态分布N(0,1)，则它们的平方和
X
2 i
服从自由度
为n的 2 分布。
i1
n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对