使用nlinfit、fminsearch在matlab中实现基于最小二乘法的非线性参数拟合（整理自网上资源）最小二乘法在曲线拟合中比较普遍。

拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......一般对于LS问题，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或优化工具箱提供的极小化函数求解。

在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操作。

在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型。

“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];执行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;这种方法对于系数是线性的模型也适应。

2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多重回归(乘积回归)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是预测变量，y是响应变量。

设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不需要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵。

1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出置信区间。

[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了标准差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处预测在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数。

LS问题的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS产生了许多应用)最小，因此可以利用fminsearch函数进行曲线拟合。

假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%可以根据需要选择是否优化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵res=y-f(para,x)%拟合残差曲线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对大样本场合比较有效！非线性拟合nlinfit函数clear all;x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';x=[x1 x2];y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';f=@(p,x)2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^ (-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);p0=[8 0.5]';opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%[p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)2.多项式型的一个例子1900-2000年的总人口情况的曲线拟合clear all;close all;%cftool提供了可视化的曲线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';%t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依。

变换为[-1 1]上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,'ro');%回归线：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2])plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合');set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%hold on;n=4;PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(size(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(PrePo));for i=1:n[p S(i)]=polyfit(s,y,i);[Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y[PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测res(:,i)=y-Y(:,i);%残差end% plot(s,Y);%2009a自动添加不同颜色% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>');% hold off% plot(Y,res,'o');%残差图r=corr(s,Y).^2 %R^2%拟合误差估计CIYearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','二阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};for col=1:nsubplot(3,2,col+2);plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%原始数据和拟合数据legend('Original','Fitted',2);hold on;plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CIplot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:');plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CIplot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col));axis([-1.2 1.8 0 400]);set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',YearAdd)); title(CFtit{col});hold off;endfigure;%残差图for col=1:nsubplot(2,2,col);plot(Y(:,i),res(:,i),'o');end一个非线性的应用例子(多元情况)要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：只是作为应用，模型不一定正确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]';x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]';x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]';x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]';x=[x1 x2 x3];f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);p0=ones(6,1);p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0)res=y-f(p,x);res2=res.^2 %失败的模型Matlab 自定义函数自定义函数的途径：M文件函数(M file function)在线函数(Inline Function)匿名函数(Anonymous Function)1.M文件函数范例function c=myadd(a,b)%这里可以写函数的使用说明，前面以%开头%在工作区中，help myadd将显示此处的说明c=a+b;%end %非必须的第一行function告诉Matlab这是一个函数，a,b是输入，c是输出，myadd是函数名。