us u vs v
（2-17）
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数
2 2 2 4
( r , )
（ 4－ 6）
1 1 0 2 2 2 r r r r
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量：
Ax
2
2 0 x 2 0 y 2 2 A xy xy x y
2
z ?
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为 t，两 端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发 现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的 最大应力如何？最大应力发生在何处？
（5-12）
（ 4）
—— 应力边界条件的复变函数表示
3 E (u iv ) ( z ) 1 ( z ) 1 1 ( z ) z1 1 s
（5-13）
—— 位移边界条件的复变函数表示 多连体及无限大多连体中， 1 ( z ), 1 ( z )结构特点
1 m 1 ( z ) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1 ( z ) 8 k 1 （5-14） 3 m 1 ( z) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1* ( z ) 8 k 1 其中： 1 ( z ), 1 ( z )为该多连体中单值解析函数。
( X k iYk )
（2）无限大多连体
为第 k 个内边界上面力主矢量。
（保证多连体中应力和位移的单值性。）
其中：
1 1 ( z ) ( X iY ) ln z Bz 10 ( z ) 8 （5-15） 3 0 1 ( z) ( X iY ) ln z ( B iC ) z 1 ( z ) 8 a1 a2 0 1 ( z ) 2 m m z z （5-16） X X k , Y Yk b1 b2 0 k 1 k 1 1 ( z) 2 z z
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 2 r
f (r )
f (r ) sin
f (r ) cos
f (r )
M P
f (r ) sin
P1
P2
(2-2)
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
r 2 f ( )
r 2 A cos 2 D
Br sin r 2 A cos 2 D
x
O

2
P
2 A cos 2 D r Br cos
y

2
x
（4） 曲梁问题
M ( ) f1 (r ) q( ) f 2 (r ) r Q( ) f 3 (r )
2
ij 1 (ui , j u j ,i )
基本方程
1 ij (1 ) ij kk ij E


边界条件（6个） 应力边界条件（3个）： ijn j
Xi
位移边界条件（3个） ： ui ui —— 数学上构成偏微分方程的定解问题 求解方法
பைடு நூலகம்数解 求解方法
精确解；
近似解； （如：基于能量原理的解） 数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解；
按应力求解；
（2）按采用的坐标系分：
直角坐标解答； 极坐标解答； 初等函数解；
逆解法； 半逆解法；
（3）按采用的函数类型分： 级数解； 复变函数解；
q
q
q
q
45°
q q
q
q
（4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。
(r , ) A
5. 平面问题的复变函数 解法 平面问题复变函数方法的求解思路 （1） 复变函数方法 —— 应力函数法 1 ( z),1 ( z) （2） 将寻求应力函数 U 的问题转化为寻求 两个解析函数 的问题 （3）利用保角变换，将求解的区域 D 变换为一个中心单位圆域；再利 用解析函数在闭环上的积分性质， 求出 ( ), ( ) 。 应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示 （ 1）
r 2 f ( )
r 2 A cos 2 B sin 2 C D
r 3 f ( )
y
O

2

2
r 2 f ( )
r 2 A cos 2 B sin 2 C D
x
r 2 f ( )
r 2 A cos 2 D
f (r ) cos
P Py

P Mx
f (r ) sin
?
?
（5） 半平面问题
P
O
y
M y
O
r
rf ( )
O

x
r

x
q
x
( )
O
q ( x)
r
y

r

x
r 2 f ( )
q
a a
O y
y
r 3 f ( )
x
利用叠加法求解
（3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 （1） 楔顶受集中力偶
( ) A sin 2 B
y
M O

2
（2） 楔顶受集中力
y
P


2
O

2

2
x
（3） 楔形体一侧受分布力
rf ( ) x r ( A cos B sin )
2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy xy y x
(2-26)


（3） 再让
x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
（2-18）
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
2. 平面问题按应力求解的基本方程 （1）平衡方程
说明： （1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
位移边界条件：
r , , r
满足问题的边界条件：
ur , u 为边界上已知位移， k r , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O x
b

x
g
y f ( y )
O
gy
x
y xf ( y )

( x, y)
其中：
1 ( z) 1( z)
（ 3）
E (u iv ) (3 ) ( z ) 1 ( z ) 1 ( z ) z1 1 1
（5-10）
( z) z ( z) ( z) i ( X iY )ds
B 1 1 1 s A
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下 （1） 先由方程（2-27）求出应力函数：
( x, y )
（ 2）
4 4 4 4 2 0 (2-27) 0 4 2 2 4 x x y y 然后将 ( x, y ) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
（4-13）
（2） 圆孔的孔边应力集中问题
原问题的转换：
轴对称问题
问题1
非轴对称问题
问题2 a
a

b

q r 2
b
q r sin 2 2 q r cos 2 2
f (r ) cos 2
1 4 2 Ar Br C D 2 cos 2 r
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 15个基本量： ui , ij, ij
平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体） 控制微分方程 （15个） 平衡微分方程（3个）： 几何方程（6个）： 物理方程（6个）：
弹 性 力 学 问 题
ij, j X i 0
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
g
l
y
y 0
y
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
p
p0
y f ( y)

y xf ( y )
p
y f ( y )
极坐标下 （1） 轴对称问题 应力函数
A ln r Br ln r Cr D
1 m ( z) ( X k iYk ) ln( z zk ) 1 ( z ) （1）一般多连体： 1 8 k 1