二阶线性递推数列的通项公式的求法
课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程内容： 真题再现：
1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*
n ∈N ．已知11a =，232a =，354
a =， 且当2n
时，211458n n n n S S S S ++-+=+．
（1）求4a 的值；
（2）求证：112n n a a +⎧
⎫-
⎨⎬⎩
⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．
2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式 问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n
时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得
21114()4()()n n n n n n S S S S S S +++--=---，即2114n n n a a a ++=-，实际上就是已知211
4
n n n a a a ++=-，求{}n a 的
通项公式。
第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥）， 求数列{}n a 的通项公式
这两题的共同特点是：已知数列*
1221,,(,0),n n n a a a b a pa qa n N pq ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即
二阶线性递推数列的通项公式的求法。
这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。
实质，此类题型来源于我们的课本习题 课本例题呈现：
例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。
（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题） 解法
1：（归纳猜想）由已知可得：11,
a =23452,19,44,145,a a a a ====猜想
11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=⨯+⨯-∈(用数学归纳法证明略)
解法2：（构造法）
将2132--+=n n n a a a 变形，]23
)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ
λλλ 若,23
λ
λ-=
-即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时，
1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1
173n n n a a --+=⨯①
3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列
11313(1)n n n a a -+-=-⨯-②
由①②两式消去1n a +得：11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=
⨯+⨯-∈
解法3：（待定系数转化法）2132--+=n n n a a a ，设112()n n n n a a a a λμλ----=-，其中,λμ是待定的常数，则
12()n n n a a a λμλμ--=+-。
得{
2
3λμλμ+==，比较系数显然λμ与是方程2230x x --=的两根，即方程2
23
x x =+的两根。
{
23
λμλμ+==⇒
{
{
3=11
=3λλμμ=-=-或，
得： 1121123(3)+3(+)
n n n n n n n n a a a a a a a a -------=--=或，以下与解法
2
相同可得
11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=⨯+⨯-∈
我们发现解法2与3本质相同，都是构造等比数列，再利用方程思想得到通项公式。
这种解法可以推广到一般： 揭示结论：
设数列12,,a a a b ==21(*)n n n a pa qa n N ++=+∈,(0pq ≠) ，求n a
设：212(),n n n n a a a a λμλ+++-=-,λμ是待定系数，整理得：21(),n n n a a a λμλμ++=+-比较系数得：
,p q λμλμ+==-，所以,λμ是方程20x px q --=的两根。
I.当0∆≥时，设其实根为,αβ，从而有
{
λαμβ
==或
{
λβμα
==得211()n n n n a a a αβα+++-=-或
211()n n n n a a a βαα+++-=-。
所以，数列11{},{}n n n n a a a a αβ++--分别是β和α的等比数列
故得：1
121()n n n a a a a ααβ-+-=-③
1121()n n n a a a a ββα-+-=-④
当αβ≠时，由③-④消去1n a +得11
2121()()n n n a a a a a a αβββα
-----=-
令212112(),a a a a c c βαβαβα
---=
=--，则11
12,n n n a c c αβ--=+常数12,c c 由1,2a a 确定
当αβ==
2p 时，由③得1121()n n n a a a a ααα-+-=-，两边同除1
n a +得12112n n n n a a a a αααα++--=。
数列{}n n
a α
是公差为212,a a αα-首项为1a α的等差数列。
得：12122(1),n n a a a a n αααα-=+-得令121122a a a c ααα-=-，21
22
a a c αα
-=，得12()n
n a c nc α=+，常数12,c c 由12,a a 共同决定。
所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程21n n n a pa qa ++=+的特征方程2
x px q =+，运用特征根方程特点解题，是非常简单的。
结论运用
对于文中所涉及的第一小题（2015广东文19）的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程
2114n n n a a a ++=-，所以其特征方程为214x x =-，解得方程只有两个相等的实根即：1
2αβ==，所以
121
()()2
n n a c nc =+，11,a =2
32a =可得：122121()12
1(2)()12
c c c c +⋅=+⋅=⎧⎨⎩∴10,c =22c = ∴12
n
n n
a -=
第（2）小题的递推公式11n n n a a a +-=+（2n ≥），其特征方程为2
1x x =+.
解得112x =
,212
x =.可
设11
1211(
(22
n n n a c c --+=+ 11,a =.
2
1a =
，可得：12
11c c +==⎧⎪⎨⎪⎩
解得1c =
2c =代入n a
可得11)()]22n n
n a +=
- 由此可见遇到此类求通项公式的题,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的.回头梳理整个通项
公式的探究过程,我最大的感触是不要轻易放过教材中的任何一道题目.教材是专家经验的积累、智慧的结晶，所以每道例题、习题都有其存在价值。
教材永远都是题目的本源，教会学生利用好教材，善于积累将会起到事半功倍的效果。
第八讲 多面体与球的组合体问题。