A-7-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性（见图7-15（a ））对系统稳定性的影响。

解 由等效增益定义x y K =-知，等效增益曲线如图7-15（b ）所示，其中∆=K Km。

设系统不存在非线性时，临界稳定增益为Kc，于是①若K c<Km，如图7-15（b ）所示，则因实际增益小于临界增益Kc，所以系统稳定。

②若K c>Km，如图7-15（c ）所示，其中x 0=KcM 。

则当x x 0<时，因K _>Km，系统不稳定，x 发散，当x 增加至使x x>0。

此时K _<K m ，系统稳定，x 收敛；当x 减少至使x x 0<时，重复上述过程。

可见，在这种情况下，系统将出现x 0为振幅的自激振荡。

③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。

不论原系统是否发散，现系统都不会发散。

但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。

A-7-2 设系统微分方程为02..=+x x nω，初始条件为()00x x =，()0..0x x =，试用消去时间变量t 的办法求该系统相轨迹。

解 因为02..=+x x n ω，所以特征根n j ωλ±=2,1，())sin(ϕω+=t A t x n （7-33） ())cos(.ϕωω+=t A t x n n （7-34） 因为()0x =ϕsin A =0x ，()0.x =ϕωcos n A =0.x 所以A =2.20⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n x x ω ， ϕ=0.0x x arctg n ω 由式（7-33），式（7-34）得2x +2.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x ω=)(sin 22ϕω+t A n +)(cos 22ϕω+t A n =2A 则系统相轨迹方程为2x +2.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n x ω=2A 相轨迹如图7-16所示，为一簇同心椭圆，椭圆的大小与初始条件有关，每一个椭圆都对应着一个简谐振动。

A-7-3 已知非线性系统微分方程为..x +x =0，试用直接积分法求该系统的相轨迹。

解 求解步骤如下： ①分段微分方程：..x =⎩⎨⎧<>-0,0,x x x x②求开关线：x =0③分段求解微分方程：当0>x 时x=x -，dxx d x=x -，x d x=xdx -⎰01x x x d x =-⎰01xx xdx ，2x +2x =201x +201x（201x，201x ）为左半面相轨迹与开关线焦点或初始条件。

由相轨迹方程可见，在相平面的右半面（0>x ），相轨迹是以原点为圆心,201201x x + 为半径的半圆弧。

当0<x 时，解法同上。

相轨迹方程为2x-2x =202x +202x （202x，202x ）为右半面相轨迹与开关线交点或初始条件。

由相轨迹方程可见，在相平面的左半面（0<x ），相轨迹方程是双曲线方程。

当202x=202x 时，相轨迹为II ，III 象限的对角线。

④画相轨迹：相轨迹如图7-17所示。

由相轨迹可见，当初始点落在第II 象限的对角线上时，该系统的运动才可以达到平衡位置（0,0）.该非线性系统是不稳定的。

A-7-4 试用等倾线法证明022=++x x xn n ωζω （1>ζ）相轨迹中有两条过原点的直线，其斜率分别为微分方程的两个特征根。

解 微分方程特征根为122,1-±-=ζωζωλn n 。

由原方程可得dx x d =-xx xn n 22ωζω+令dx x d =α，由等倾线方程x x n nαζωω+-=22。

可见等倾线是一束过原点的直线。

这些直线的斜率为()αζωω+-n n22，与相轨迹斜率α有关。

直线相轨迹的斜率也是等倾线的斜率，故令2,1α=()αζωω+-n n22，由此得到0222=++n n ωαζωα122,1-±-=ζωζωαn n因为1>ζ，所以2,1α是两个实数。

2,1α作为相轨迹斜率是有意义的。

等倾线x x1α= 和x x 2α= 是两条过原点的直线，其斜率与相轨迹相同。

它们也是相轨迹（如图7-18所示），其斜率122,1-±-=ζωζωαn n 确为微分方程的两个特征根。

这两条直线相轨迹是附近相轨迹的渐近线。

A-7-5试绘制M x x T =+ 的相轨迹（0>T ,0>M ）。

解 由方程M x xT =+ 可见 M x= （7-35） 满足原方程，为一条相轨迹。

利用等倾线法，可求出其它相轨迹。

因为， dx x d x x=，所以xT x M dx xd -=。

令dx x d =α，得等倾线方程x =1+αT M 。

可见，等倾线为一簇水平线。

当0=α时，M x= 。

由式（7-35）知，该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其它相轨迹均以此线为渐近线。

当∞→α时0=x ，表明相轨迹垂直穿过x 轴。

当T1-→α时，∞=x，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为T 1-. 图7-19大致示出了该系统的相轨迹。

A-7-6试用等倾线法绘出0=++x x x的相轨迹。

解 由dx x d x x=，得dx x d =x x x )(+-。

令dx x d =α，得等倾线方程x xα+-=11。

等倾线为一束过原点的直线，斜率时α+-11。

给定不同的α，便可以得到对应等倾线的斜率。

表7-5列出了不同α值下等倾线的斜率和等倾线与x 轴的夹角β。

图7-20画出了α取不同值时的等倾线和代表相轨迹切线方向的短线段。

这些短线段确定了相平面上任一点相轨迹切线方向的方向场。

设初始点为A(见图7-20)。

自A 点开始，按图上短线段确定的方向，依次连接A ，B ，C...各点直到原点。

在绘图过程中，相邻两等倾线间相轨迹的斜率由这两条等倾线上相轨迹斜率之和的一半来确定。

在图7-20上，系统状态从A 点沿着斜率为10.12,-=+=BA B A ααα的直线转移到B 点。

A-7-7 设非线性系统方程为022=++x x x，试绘制该系统的相平面图。

解 由dxxd x x=，原方程可改写为 dxxd =x x x 22+-令dxxd =α，得等倾线方程022=++x x xα，或写为()()022=++-ααx x 。

它代表了一簇过原点的抛物线。

抛物线顶点在相平面的（2α，α-）点上。

取α为不同值时，可以得到顶点在不同位置上且过原点的抛物线。

这就是对应不同α值时额等倾线，如图7-21所示。

A-7-8设非线性系统方程为0242=+++x x x x ，试用δ法绘出初始状态A(0x =0，0x=2)出发的相轨迹。

解 由原式可知，()()x x x x xf ++-=224,，把原方程变为式（7-13）的形式，得 ()x xx x x x +++-=+2222242 ()()x x x x x x +++-=22224, δ=25.02x x +-在本题中，2=ω，所以相平面横坐标为x ，纵坐标为2x。

从A 点开始绘图，根据式（7-36）算出0δ=25.02x x +-=-215.00⨯+=-0.25在x -2x 平面上，以（0δ=-0.25，0）点为圆心，过点A 作一段小圆弧到某点B （0.1,0.94），称此点为“预测点”。

根据式（7-36）可算出25.01211xx +-=δ=294.05.01.02⨯+-=24.0- 210δδ+=245.0224.025.0-=-- 在x -2x平面上，以（210δδ+=245.0-，0）点为圆心，过A 点作一圆弧，此圆弧过点B （0.1,0.94）.B 点便是第一段小圆弧终点。

按此步骤分别作出BC ⌒ ,CD ⌒ ,DE ⌒ ,EF ⌒ ,FG ⌒ ,GH ⌒ , ,最终绘出该非线性系统从A 点出发的相轨迹，如图7-22所示。

A-7-9 试分别绘制0=+x xT 和M x x T =+ 的相轨迹，并比较二者有何异同（0>T ）。

解 ①0=+x xT ，（1+dx x d T ）x =0，必有x =0和/或1+dxxd T =0.由dx x d =T 1-00=∙x x知，奇点为x=0上所有点，有无穷多个，这些非孤立奇点构成一条“奇线”。

因为1+dx xd T=0，所以dx xTd -= 。

积分得 ⎰⎰-=x x x x dx xd T 0 ，)(100x x Tx x --=- 对应的相轨迹如图7-23(a)所示。

②由M x xT =+ 可直接绘相轨迹，如图7-23（b ）所示。

由图7-23可见，围着相轨迹形状是一样的，均斜率为T 1-的直线。

不同之处在于图（a ）中初始点可以取在相平面上任意一点，例如取)1(1,000===T xx ，则系统沿AB 运动，对应的相轨迹是图（a ）中最右边那条；图（b ）中当M 确定后，初始点不能再相平面上任取，例如当00=x ，由原方程，只能是T M x= 。

当1M M =时，对应的相轨迹与图（a ）一样，时图（b ）中最右边的那条直线，初始点由A 点运动到B 。

若3M M =,对应的相轨迹只能是图（b ）中最左边的那条，初始点由C 运动到D 。

A-7-10 设非线性系统如图7-24（a ）所示，试绘制初始点在()100>=c c ，()00==c c 的相轨迹，计算这条封闭相轨迹所对应的周期，并将结果与线性无阻尼运动情况 进行比较。

解 ①画相轨迹：由图7-24（b ）可得⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-<1,21,01,2c c c c开关线为1=c 。

当1>c 时，2-=c，dc c d c 2-= ： 积分可得 14A c c+-= ，其中020144c c c A =+= 。

故 )(402c c c--= （7-37） 在1>c 区域内，相轨迹是一顶点在)0,(0c ，开口向左的抛物线。

当1≤c 时，0,0==c d c c： 积分可得 22A c= ，2A 由1>c 区域内的相轨迹与开关线1=c 的交点),1(01c决定。

由式（7-37）值)1(40201c c--= ，故 )1(4020122c c A c--=== （7-38） 由上式可见，在1≤c 区域内，相轨迹为水平直线。

当1-<c 时，2-=c： 积分接触34A c c+= 。

3A 由1≤c 区域内的相轨迹与开关线1-=c 的交点决定。

因为1≤c 区域内的相轨迹是水平直线，所以交点坐标为（010202,1c cc =-=）。

因000102202344)1(444c c c c cA =+--=+=-= ，故 0244c c c+= 由此可见，在1-<c 区域内，相轨迹是一顶点在（0,0c -），开口向右的抛物线，与1>c 区域内相轨迹对称。