1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=1,2。
⑵B=b|b是素数。
⑶C=c|c是偶数。
⑷D=2n| n N。
解：⑴因为2×2＝4A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3B，2×3＝6B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶a,b C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) a,b D,n,m N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m N，所以a×b D 且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=1,2,3,4，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。
解：*和ο的运算表如表和表所示。
表表∗1234ο1234100001123421234222343246833334436912444443.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=0,1,2,3,4,5,6，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表和表所示。
表表4.设代数系统<A,∗>，其中A=a,b,c，∗是A上的二元运算，分别由下列表给出。
试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。
表表表表∗a b c∗a b c∗a b c∗a b ca abc a a b c a a b c a a b cb bc a b b a c b a b c b a b cc c a b c c c c c a b c c c c b解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表所示。
表交换律幂等律单位元逆元表有无a a–1= a, b–1= c, c –1= b表有无a a–1= a, b–1= b表无有无无表无无无无5.写出代数系统<N7,＋7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,＋7>的运算表如表所示。
由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。
6.写出代数系统<N7,×7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N7,×7>的运算表如表所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。
7.设<A,∗>是代数系统，A是有限集，那么⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表有何特征⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征解：代数系统<A,∗>，A是有限集。
⑴当运算∗在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A中的元素。
⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。
8.设A=1,3,5,7,9，∗是A上的二元运算，其定义分别为：⑴a∗b=min(a,b)⑵a∗b=a⑶a∗b=ab+a问：哪些运算满足幂等律解：⑴满足幂等律。
因为a A, a∗a= min(a,a)=a。
⑵满足幂等律。
因为a A, a∗a=a。
⑶不满足幂等律。
因为1∗1＝1×1＋1＝2≠19.写出<N10,×10>的所有幂等元。
解：因为0×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。
10.设A=1,2,3,4，A上的二元运算∗定义为取最大值运算，即a,b A，有a∗b=max(a,b)证明∗是可结合的运算，并指出代数系统<A,∗>的幺元、零元和各元素的逆元。
解：作∗运算表如表所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。
(a∗b)∗c= max(max(a,b),c)a∗(b∗c)= max(a,max(b,c))以上两式都是取a，b，c三者中得最大者，所以①a≥b≥c 和a≥c≥b时，(a∗b)∗c=a＝a∗(b∗c)表∗1234 11234 22234 33334 44444②b≥a≥c 和b≥c≥a时，(a∗b)∗c=b＝a∗(b∗c)③c≥a≥b和c≥b≥a时，(a∗b)∗c=c＝a∗(b∗c)即a,b,c A，(a∗b)∗c=a∗(b∗c)，∗运算满足结合律。
11.设<Z,∗>是代数系统，∗的定义分别为：⑴a∗b=|a+b|，⑵a∗b=a b，⑶a∗b=a+b−1，⑷a∗b=a+2b，⑸a∗b=2ab。
问：哪些运算在Z上是封闭的哪些运算是可交换的哪些运算是可结合的解：Z为整数集合，⑴因为①整数加法运算在Z上封闭，绝对值运算在Z上也封闭。
②a,b Z，a∗b=|a+b|=|b+a|=b∗a③当a＝1，b＝2，c＝-3时，(a∗b)∗c=||a+b|+c|=0，a∗(b∗c)=|a+|b+c||=2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，但不可结合。
⑵因为①当b＜0时，a∗b= a b不一定是整数，例如a＝2，b＝-1，a∗b=2-1Z，②a,b Z，a∗b=a b，b∗a=b a，a∗b不一定等于b∗a，例如a＝2，b＝1时，a∗b=a b=2，b∗a=b a=1。
a∗b≠b∗a。
③当a=2，b=1，c=2，(a∗b)∗c=(a b)∗c=(21)∗2=22=4，a∗(b∗c)=a∗(b c)=2∗(12)=2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。
所以∗运算在Z上不封闭，不可交换，不可结合。
⑶因为①整数加法和减法运算在Z上封闭，②a,b Z，a∗b=a＋b-1= b＋a-1= b∗a③a,b,c Z，(a∗b)∗c=(a＋b-1)＋c-1=a＋b＋c-2=a＋(b＋c-1)-1。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，可结合。
⑷因为①整数加法和乘法运算在Z上封闭。
②a,b Z，a∗b=a＋2b，b∗a=b＋2a。
a∗b不一定等于b∗a，如a＝1，b＝2时。
a∗b=a ＋2b=5，b∗a=b＋2a=4，a∗b≠b∗a。
③a,b,c Z，(a∗b)∗c=(a＋2b)＋2c，a∗(b∗c)=a＋2(b＋2c)=a＋2b＋4c，当a＝0，b＝0，c＝1时，(a∗b)∗c=2，a∗(b∗c)=4，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，不可交换，也不可结合。
⑸因为①整数乘法运算在Z上封闭，②a,b Z，a∗b=2ab=2ba=b∗a③a,b,c Z，(a∗b)∗c=2(2ab)∗c=4abc=2a×2bc=2a(b∗c)=a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，也可结合。
12.在代数系统<Z,∗>中，Z是整数集合，运算∗定义为a∗b=a＋b＋ab，证明运算∗在Z 上是封闭的，∗是可交换的和可结合的，并指出其幺元。
证明：①因为整数加法和乘法在整数集合Z上封闭，所以，∗运算在Z上是封闭的。
②因为a∗b=a＋b＋ab=b＋a＋ba=b∗a，所以，∗运算在Z上是可交换的。
③因为a∗0=a＋0＋a×0=a=0＋a＋0×a=0∗a，即0为∗运算的幺元。
13.写出<N5,＋5>的幺元和各元素的逆元。
解：i∈N5，i＋50=i＋0=i=0＋i=0＋5i即0为＋5的幺元。
当i＋j=j＋i=0时，i与j互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。
14.写出<N5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。
解：i∈N5，i×51=i =1×5 i，所以，1为×5的幺元。
2×53＝3×52＝1，4×54＝1，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。
15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。
解：令A =a ,b ,c ，∗是A 上的二元运算，∗的运算表如表所示。
根据运算表，a 为幺元，a 的逆元为a ，b 和c 无逆元。
16. <N k ,＋k ,×k >是代数系统，证明×k 对于＋k 是可分配的。
解： 根据＋k 和×k 的定义，一方面，因为a ×(b ＋c －k )=a ×(b ＋c )－ak ，ak mod k = 0，所以a ×(b ＋c －k ) mod k = a ×(b+c ) mod k ，故a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋k c ) mod k =⎩⎨⎧≥+-+⨯<++⨯k c b k k c b a kc b k c b a mod )( mod )( =a ×(b ＋c ) mod k另一方面，当a ×b ＜k 时，a ×k b 也可以看成是a ×b 除以k ，商为0的余数，则a ×k b =a ×b mod k (a ×b 除以k 的余数)，于是对于a,b,c ∈N k , 可设a ×b ＝ek+m ，a ×c ＝fk+n ，e,f,m,n 为自然数，0≤m,n ＜k 。
则a ×k b =a ×b mod k =m ，a ×k c = a ×c mod k =n 。
当m ＋n ＜k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )= m ＋n 当m ＋n ≥k 时，a ×(b+c ) mod k =(a ×b mod k )+ (a ×c mod k )－k = m ＋n －k 将以上两式合并成一个式子：a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋c ) mod k =(a ×b mod k )＋k (a ×c mod k ) = (a ×k b )＋k (a ×k c ) 所以×k 对＋k 满足左分配律。
因为＋k 和×k 在N k 上可交换，所以有(b ＋k c )×k a = a ×k (b ＋k c )=(a ×k b )＋k (a ×k c )＝(b ×k a )＋k (c ×k a ) 即×k 对＋k 满足右分配律。