微积分考试复习题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等 D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．C ．11ln+-=x x y 5．已知1tan )(-=x xx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →06．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ．xxsin 7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．1 8．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A ．21-9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x10．设y x=l g 2，则d y =（ B ）． B ．1d x x ln1011．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）B ．--p p32二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称．5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.66．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ．7. =+∞→x x x x sin lim1 8．已知xxx f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量． 9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞．内连续，则=a 2 . 10．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()的驻点是x =112．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p - 三、计算题1．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ．2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)(x f ' ． 3．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y ' ．5．已知x y cos 25=，求)2π(y '；6．设x x y x +=2cos e ，求y d 7．设x y x 5sin cos e +=，求y d ．8．设x x y -+=2tan 3，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）试求（1）成本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q()=++25020102（万元）．问要使平均成本最少应生产多少件产品？三、计算题1．解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=- 2sin cos 2ln 2xx x x x +=+ 2．解 xx x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='3．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 5．解：因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y6．解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x +-=' 所以 x x x y xd ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．解：因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x sin cos 5cos e 4sin -= 所以 x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -= 8解：因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx --=所以x xx y xd )2ln 2cos 3(d 322--= 四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C （2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000． 因为 q p=-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q-． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q--(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3.（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．解 因为 ()9800()0.536C q C q q q q==++ (0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 9800(140)0.514036176140C =⨯++= （元/件） 5．解 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品． 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ．y = x 2 + 3 2．下列等式不成立的是（ A ．)d(e d e x x x = 3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D . 2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin 5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x6. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰7．下列定积分中积分值为0的是（ A ．x xx d 2e e 11⎰--- 8．下列定积分计算正确的是（ D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ．⎰∞+12d 1x x 10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（ C ．21二、填空题1．⎰-x x d e d 2 x x d e 2- 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 -21cos2x + c (c 是任意常数) 3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x 5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰=c F x +--)e ( 6．=+⎰e 12dx )1ln(d d x x 0 7．积分=+⎰-1122d )1(x x x0 8．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性） 9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242 解 ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin 2 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰x x x d 2 解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21226．计算 x xx d e 2121⎰解 x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e1x ⎰ 解 x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．x x x d 2cos 2π⎰ 解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+ 解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元） 又xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.A ．AB2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B . T T T )(A B AB = 3．以下结论或等式正确的是（ ）．C ．对角矩阵是对称矩阵4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C . I B + 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ．2 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ．18．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A . 无解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组无解B ．1210. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ．n A r A r <=)()(11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解 正确答案：B12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ．只有零解二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2641322．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是B A ,是可交换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵.5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =A B I 1)(-- 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ． 7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ．8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ—1 9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般为为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) 12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则：t 1-≠时，方程组有唯一解. 三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→112103350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→00001941019101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x xx （其中3x 是自由未知量）9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解. 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕经济数学基础11年秋季学期模拟试题一、单项选择题1．B 2. A 3. D 4. C 5. C1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． B ．e x 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）．A ．21-3．下列定积分计算正确的是（ D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）C ．111)(---=A B AB5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ） C ．只有零解 二、填空题6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5, 2) ． 7．求极限 =+∞→x xx x sin lim1 .8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 BA AB =．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r三、微积分计算题11．设xx y -+=2tan 3，求y d ． 12．计算积分x x x d 2cos 20⎰π．四、代数计算题13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？三、微积分计算题11．解：因)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x x x --=所以x x x y x d )2ln 2cos 3(d 322--=12．解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 四、线性代数计算题 13．解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12312411220001000112300101120210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩ (x 3，4x 是自由未知量〕五、应用题15．解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 经济数学基础一、单项选择 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1.下列函数中为奇函数的是（ C ）．(C) 11ln+-=x x y 2.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E （ (D)pp 23--3.下列无穷积分中收敛的是(B)⎰∞+12d 1x x 4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行．(A) AB 5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是 D) 无解二、填空题 6.函数24)(2--=x x x f 的定义域是 ),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e x f x =-的间断点是0=x 8.若cx F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f xx d )e (e c F x +--)e (． 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当=a 0 时，A 是对称矩阵10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有三、微积分计算题 1.设x y x 5cos 3+=，求y d ． 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、线性代数计算题11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量； (2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？三、微积分计算题）11. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y x x +=+=)(cos d cos 5d 3ln 34x x x x +=x x x x x d cos sin 5d 3ln 34-=x x x x d )cos sin 53ln 3(4--= 12. 解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x四、线性代数计算题13. 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100T A B 所以由公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 14. 解：因为系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 五、应用题）15.解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润 '='-'L x R x C x ()()() x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． （2）x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元． 1 经济数学基础09秋模拟试题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）． D ．1->x 且0≠x2．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C ．1 3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin4．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行A ．AB5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ．2 二、填空题（6．设函数2)1(2++=+x x x f ，则42+x7．设某商品的需求函数为2e 10)(p q -=，则需求弹性=p E 2p - 8．积分=+⎰-1122d )1(x x x0 ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X = 1)(--B I ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，则≤)(A r 3 ． 三、微积分计算题11．设x x y x +=cos e ，求y d ． 12．计算积分⎰x xx d 1sin2． 四、代数计算题 13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，计算 1)(-+A I ． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.三、微积分计算题11．解：212cos 23cos 23)sin (e )()(cos e x x x x y x x +-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-= 12．解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2 四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用15．解：因为总成本函数为 ⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础09秋模拟试题2一、单项选择题1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ C ．21e x -3．若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ A ．B5．设线性方程组b X A n m =⨯ B ．n A r A r <=)()(二、填空题6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =42+x7．曲线y =)1,1(处的切线斜率是 2p- 8．=+⎰x x x d )1ln(d d e 120 9．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=1)(--B I10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 3时，方程组有唯一解． 三、微积分计算题11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ． 12．计算积分⎰e1d ln x x x ．四、代数计算题13．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？三、微积分计算题 11．解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'=' x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用题15．解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为q q q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3 (百台)该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 经济数学基础期末模拟练习（二） 一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B 10.A1.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相同． (B) 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.当1→x 时，下列变量中的无穷小量是 (C) 1122+-x x3.若)(x f 在点0x 有极限，则结论（ ）成立 (D) )(x f 在点0x 可能没有定义4.下列函数中的单调减函数是（ ） (C) x y -=5.下列等式中正确的是（ ） (B) )cos d(d sin x x x -=6.若F x ()是f x ()的一个原函数，则=⎰--x f x x d )e (e （ ）．(A) c F x +--)e (7.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (D) )()()(AB P A P B A P -=-8.已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）． (C) 1,21-==b a 9.设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ (B) T AB 10.n 元线性方程组A Xb =有解的充分必要条件是（ ）． (A) 秩=A 秩)(A 二、填空题11. 2sin 2+x 12. 减少 13. x cot - 14. 7.1 15. 1 11.若函数2)(2+=x x f x x g sin )(==))((x g f 12.函数x x f ln )(-=在区间),0(∞+内单调 13.=⎰x xd sin 12 ． 14.设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.01.06.021~X ，则=+)1(X E ． 15.当λ= 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．三、极限与微分计算题16.求极限xx x 21sin 1lim-+→．17.由方程x y x y ln sin =+确定y 是x 的隐函数，求y d ．四、积分计算 18.计算积分⎰41d ex xx19.求微分方程xx x y y sin =+'的通解． 五、概率计算题 20.已知5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(B A P +．21.设随机变量)9,3(~N X ，求)120(<≤X P ．（已知ΦΦ().,().108413209772==，Φ().309987=） 六、代数计算题 22.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，求1)(--B A ． 23.求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x七、应用题24.厂家生产一种产品的需求函数为p q 80720-=（单位：件）而生产q件该产品时的成本函数为1604)(+=q q C （单位：元）问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？八、证明题25.设A 为矩阵，证明T AA 是对称矩阵．三、极限与微分计算题 16. 解：利用重要极限的结论和极限运算法则得)1sin 1(2)1sin 1)(1sin 1(lim 21sin 1lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )1sin 1(2sin lim 0++=→x x x x 41= 17. 解：等式两端同时求微分得 左)sin (d d )sin (d y x y y x y +=+= y y x x y y y x x y y d cos d sin d )(sin d d sin d ++=++= 右x xx d 1)(ln d ==由此得x xy y x x y y d 1d cos d sin d =++ 整理得 x y x yx y d cos 1sin 1d +-=18. 解：利用积分的性质和凑微分法得⎰⎰=4141)(d 2e d ex x xxx⎰==21212e d 2e u u u )e 2(e 2-= 19. 解：方程是一阶线性微分方程，xx P 1)(= ，积分因子为x x xx ==⎰ln d 1e e原方程改为x y y x sin =+' 上式左端为)('xy ，两端同时积分得c x x x xy +-==⎰cosd sin即微分方程的通解为xcx x y +-=cos 其中c 为任意常数． 五、概率计算题 20. 解：由事件的关系得B A A B A +=+且A 与B A 互斥，再由加法公式得)()()(B A P A P B A P +=+8.03.05.0=+=21. 解：对X 做变换得出)1,0(~33N X -，于是)3331()331233330()120(<-≤-=-<-≤-=<≤X P X P X P)]1(1[)3()1()3(ΦΦΦΦ--=--= 84.018413.09987.0=-+= 六、代数计算题22. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110210001010010111100301010111001010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→212121100001010010111111200001010010111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→212121100001010212323001212121100001010212321011即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 23. 解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=131101311021011551323412121011A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 线性方程组的一般解为 ⎩⎨⎧-+=++=1312432431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）24. 解：由已知条件可得809qp -= 809)(2q q pq q R -== 又由已知条件得1604)(+=q q C进一步得到160805)1604(809)()()(22--=+--=-=q q q q q q C q R q L对利润函数求导得405)(qq L -=' 令'=Lq ()0得200=q ，在定义域内只有一个驻点，故为最值点．即生产200件产品时厂家获得的利润最大． 八、证明题25. 证：由转置的性质得T T T T T T AA A A AA ==)()( 由定义可知T AA 是对称矩阵． 中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期 经济数学基础 试题一、单项选择题二、填空题三、微积分计算题四、线性代数计算题五、应用题一、单项选择题（每小题3分．本题共15分）1．D 2．B 3．A 4．C 5．A。