∴不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分．
Байду номын сангаас
（4）过点 P 作 PM⊥AC 于Ｍ，PN⊥BC 于 N，
若四边形 PQP ′ C 是菱形，那么 PQ＝PC．
∵PM⊥AC 于 M，∴QM=CM．
∵PN⊥BC 于 N，易知△PBN∽△ABC．
PN BP
PN t
∴ ，∴ ，
（1）用含 x 的代数式表示△ＭNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的 函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
A
A
A
MO
N
M
O
N
M
N
O
P
B
C
B
1 M 为 DE 的中点， MH ∥ BE ， MH (BE AD) ．
2
又 AB BE ， MH AB ．
1
1
S△ABM 2 ABMH ，得 y 2 x 2(x 0) ；
（2）由已知得 DE (x 4)2 22 ．
以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，
（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；
A
（2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； D P
R E
（3）是否存在点 P ，使 △PQR 为等腰三角形？若存在，
请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由．
B
C
HQ
3、（湖南郴州）如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC
B
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形 MBFN 是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
A
O
N
E
F
C
P
图 （ 4）
∴ PF x 4 x 2x 4 ．
又△PEF ∽ △ACB．
2
∴
PF
AB
SPEF ．∴ SABC
3 SPEF
2
2
x2 ．
y
SMNP
SPEF
＝
3 8
x2
3 2
x
22
9 8
域；
（2）如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切，求线段 BE 的长；
（3）联结 BD ，交线段 AM 于点 N ，如果以 A，N，D 为顶点的三角形与 △BME 相似，
求线段 BE 的长．
A
D
A
D
M
B
EC
B
C
备用图
【思路点拨】（1）取 AB 中点 H ，联结 MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨
解答下列问题：
（1）当 t 为何值时， PQ ∥ BC ？ （2）设 △AQP 的面积为 y （ cm2 ），求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t ，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，
求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图（2），连接 PC ，并把 △PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC ，那么是否存在
49 64
505 ，
9 81 9
5
505
∴菱形 PQP ′ C 边长为 ．
9
【例 3】（山东德州）（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ AM AN ，即 x AN ． AB AC 4 3
3 ∴ AN＝ x．
4
∴
S
= SMNP
SAMN
13
24
xx
3 t)
3 t2
3t
．
2
2
55
（3）若 PQ 把△ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ．
QHC 图①
∴ (5 t) 2t t 3 (4 2t) ， 解得： t 1．
1
若 PQ 把△ABC 面积平分，则 SAPQ SABC ，
即－ 3 t2 ＋3t=3．
2
5
∵ t=1 代入上面方程不成立，
5 ∴ MN x ，
4
B
QD
C
图（ 2）
5
5
∴ OD x ．过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q，则 MQ OD x ．
8
8
M
在 Rt△BMQ 与 Rt△BCA 中，∠B 是公共角，
A N
O
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ BM QM ． BC AC
P
B
C
图 （1）
5
5 x
∴ BM
8
25
25
x ， AB BM MA x x 4 ．
CB
C D
P
图（1）
图（2）
图（3）
【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线 BC 与⊙O 相切于点 D，连结 AO，OD， 先求出 OD（用 x 的代数式表示），再过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到 图形娈化的分界点， x ＝2。然后 分两种情况讨论求 y 的最大值： ① 当 0＜ x ≤2 时， ② 当 2＜ x ＜4 时。
2020 中考数学专题讲座 几何与函数问题
【知识纵横】
客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题
就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制
约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的
代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一
步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数
AC AB
45
A
4t
4t
∴ PN ， ∴ QM CM ，
5
5
44
10
∴ t t 2t 4 ，解得： t ．
55
9
10 ∴当 t 时，四边形 PQP ′ C 是菱形．
9
37
48
此时 PM 3 t ， CM t ，
53
59
B
P
N
QMC
图② P′
在 Rt△PMC 中， PC
PM 2 CM 2
B P
若 PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
AQ AP 2t 5 t
10
∴ ，∴ ，∴ t ．
AC AB
45
7
A
（2）过点 P 作 PH⊥AC 于 H．
∵△APH ∽△ABC，
PH AP
PH 5 t
3
∴ ，∴ ，∴ PH 3 t ，
BC AB
35
5
∴
y
1
AQ
PH
1
2t
(3
求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由．
A
E
F
B
2、（浙江温州市）如图，在 Rt△ABC 中，A 90 ， AB 6 ， AC 8 ， D，E 分
别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q ，过
点 Q 作 QR ∥ BA 交 AC 于 R ，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ x ，QR y ．
AB AP 2 故以下分两种情况讨论：
A
M
N
O
B
P
C
图 （3）
6
① 当 0＜ x ≤2 时， y SΔPMN 3 x2 ．
8
∴
当 x ＝2 时， y最大
3 22
3 .
8
2
② 当 2＜ x ＜4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，F．
M
∵ 四边形 AMPN 是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
3 8
x2 ．（0＜ x ＜4）
1 （2）如图（2），设直线 BC 与⊙O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO =OD = MN．
2
A
在 Rt△ABC 中，BC ＝ AB2 AC 2 =5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
M
N
O
∴ AM MN ，即 x MN ． AB BC 4 5
某一时刻 t ，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理
B
1
P
B P
C
由．
图（1）
图（2）
【思路点拨】（1）设 BP 为 t，则 AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过P点 P 作 PH⊥AC
于 H．
（3）构建方程模型，求 t；（4）过点 P 作 PM⊥AC 于Ｍ，PN⊥BC 于 N，若四边形 PQP ′ C
①当 ADN BEM 时， AD ∥ BE ，ADN DBE ．DBE BEM ．
DB DE ，易得 BE 2 AD ．得 BE 8 ；
②当 ADB BME 时， AD ∥ BE ，ADB DBE ．
DBE BME ．又 BED MEB ，△BED ∽△MEB ．
DE
BE
，即 BE2
∴ AM AN ，即 x AN ． AB AC 4 3
边上的一个动点（不与 B、C 重合）．过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F． FE 与 DC 的延长线
相交于点 G，连结 DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
A
D
（2） 当点 E 在线段 BC 上运动时，△BEF 和